Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 25 )

Продуктивные модели Леонтьева

Матрица А, все элементы которой неотрицательны, на­зывается продуктивной, если для любого вектора с неот­рицательными компонентами существует решение уравнения (16.6) — вектор , все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Для уравнения типа (16.6) разработана соответствующая математическая теория исследования решения и его особеннос­тей. Укажем некоторые ее основные моменты. Приведем без доказательства важную теорему, позволяющую устанавливать продуктивность матрицы.

ТЕОРЕМА 16.1. Если для матрицы А с неотрицательными элементами и некоторого вектора с неотрицательными компонентами уравнение (16.6) имеет решение с неотри­цательными компонентами, то матрица А продуктивна.

Иными словами, достаточно установить наличие положи­тельного решения системы (16.6) хотя бы для одного положи­тельного вектора , чтобы матрица А была продуктивной. Пе­репишем систему (16.6) с использованием единичной матрицы Е в виде

Если существует обратная матрица (E - А)-1 , то существует и единственное решение уравнения (16.7):

Матрица (Е — А)-1 называется матрицей полных затрат.

Существует несколько критериев продуктивности матри­цы А. Приведем два из них.

Первый критерий продуктивности. Матрица А продукти­вна тогда и только тогда, когда матрица (Е - А)-1 сущест­вует и ее элементы неотрицательны.

Второй критерий продуктивности. Матрица А с неотри­цательными элементами продуктивна, если сумма элемен­тов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Рассмотрим применение модели Леонтьева на несложных примерах.

Пример 1. В табл. 16.4 приведены данные по балансу за не­который период времени между пятью отраслями промышлен­ности. Найти векторы конечного потребления и валового вы­пуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и опре­делить, является ли она продуктивной в соответствии с при­веденными выше критериями.

Решение. В данной таблице приведены составляющие ба­ланса в соответствии с соотношениями (16.2): xij — первые пять столбцов, уi — шестой столбец, xi — последний столбец (i,j = 1, 2, 3, 4, 5). Согласно формулам (16.3) и (16.4), имеем

Все элементы матрицы А положительны, однако нетрудно видеть, что их сумма в третьем и четвертом столбцах боль­ше единицы. Следовательно, условия второго критерия продук­тивности не соблюдены и матрица А не является продуктив­ной. Экономическая причина этой непродуктивности заключа­ется в том, что внутреннее потребление отраслей 3 и 4 слиш­ком велико в соотношении с их валовыми выпусками.

Пример 2. Табл. 16.5 содержит данные баланса трех отрас­лей промышленности за некоторый период времени. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30 условных денежных единиц.

Решение. Выпишем векторы валового выпуска и конеч­ного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат. Согласно формулам (16.3) и (16.4), имеем

Матрица А удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения конечного потребления новый вектор конечного продукта будет иметь вид

Требуется найти новый вектор валового выпуска *, удов­летворяющий соотношениям баланса в предположении, что матрица А не изменяется. В таком случае компоненты x1, x2, х3 неизвестного вектора * находятся из системы уравнений, которая согласно (16.4) имеет в данном случае вид

В матричной форме эта система выглядит следующим об­разом:

или

где матрица (Е — А) имеет вид

Решение системы линейных уравнений (16.11) при заданном векторе правой части (16.9) (например, методом Гаусса) да­ет новый вектор * как решение системы уравнений баланса (16.10):

Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное уве­личение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и пе­реработку углеводородов на 52,2%, уровень энергетики — на 35,8% и выпуск продукции машиностроения — на 85% по срав­нению с исходными величинами, указанными в табл. 16.5.

16.3. Линейная модель торговли

Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матри­цы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем пола­гать, что бюджеты п стран, которые мы обозначим соответ­ственно x1, x2, … , xn расходуются на покупку товаров. Мы будем рассматривать линейную модель обмена, или, как ее еще называют, модель международной торговли.

Пусть aij — доля бюджета xj, которую j-я страна тратит на закупку товаров у i-й страны. Введем матрицу коэффици­ентов aij:

Тогда если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (можно это трактовать как торговый бюджет), то справедливо равенство

Матрица (16.12) со свойством (16.13), в силу которого сум­ма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для i-й страны общая вы­ручка от внутренней и внешней торговли выражается форму­лой

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли фор­мулируется естественным образом: для каждой страны ее бюд­жет должен быть не больше выручки от торговли, т. е. Pi ≥ xi:, или

Докажем, что в условиях (16.14) не может быть знака не­равенства. Действительно, сложим все эти неравенства при i от 1 до n. Группируя слагаемые с величинами бюджетов xj, получаем

Нетрудно видеть, что в скобках стоят суммы элементов матри­цы А по ее столбцам от первого до последнего, которые равны единице по условию (16.13). Стало быть, мы получили нера­венство

откуда возможен только знак равенства.

Таким образом, условия (16.14) принимают вид равенств:

Введем вектор бюджетов , каждая компонента которого ха­рактеризует бюджет соответствующей страны; тогда систему уравнений (16.15) можно записать в матричной форме

Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению λ = 1, со­стоит из бюджетов стран бездефицитной международной тор­говли.

Перепишем уравнение (16.16) в виде, позволяющем опреде­лить :

Пример. Структурная матрица торговли четырех стран име­ет вид:

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансиро­ванной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюд­жетов задана:

Решение. Необходимо найти собственный вектор , отве­чающий собственному значению λ = 1 заданной структурной матрицы А, т. е. решить уравнение (16.17), которое в нашем случае имеет вид

Поскольку ранг этой системы равен трем, то одна из неизвест­ных является свободной переменной и остальные выражаются через нее. Решая систему методом Гаусса, находим компонен­ты собственного вектора :

Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, найдем величину с: с = 1210, откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле (в условных денежных единицах):

УПРАЖНЕНИЯ

16.1. По данным табл. 16.1 составить новую таблицу про­изводственно-экономических показателей по следующим усло­виям:

— количество изделий всех видов увеличивается на 20%,

— норма времени изготовления по всем изделиям уменьша­ется на 20%,

— цена на все виды изделий уменьшается на 10%.

Найти ежесуточные показатели, указанные в задаче 1 п. 16.1, а также их процентные изменения.

16.2. По данным табл. 16.2 составить новую таблицу по сле­дующим условиям:

— дневная производительность всех предприятий увеличи­вается на 100%,

— число рабочих дней в году для 1-го предприятия увели­чивается на 50%, а для остальных — на 40%,

— цены на виды сырья уменьшаются соответственно на 10, 20 и 30%.

Определить суммы кредитования предприятий и их соот­ветствующие процентные изменения.

16.3. Отрасль состоит из 4-х предприятий; вектор выпуска продукции и матрица внутреннего потребления имеют вид

Найти вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли.

16.4. Предприятие выпускает три вида продукции с использованием трех видов сырья, характеристики производства указаны в следующей таблице:

Найти объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

16.5. В условиях примера 2 п. 16.2 определить прирост объе­мов валовых выпусков по каждой отрасли (в процентах), если конечное потребление увеличить по отраслям соответственно на 30, 10 и 50%. Решить задачу методом обратной матрицы и методом Гаусса.

16.6. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид

Найти бюджеты первой и второй стран, удовлетворяющие сба­лансированной бездефицитной торговле при условии, что бюд­жет третьей страны равен 1100 усл. ед.

Часть 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Глава 17. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

События, происходящие в окружающем нас мире, можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случай­ные. Достоверным относительно комплекса условий S называ­ется событие, которое обязательно произойдет при осуществле­нии этого комплекса условий. Например, если гладкий желоб с лежащим внутри него тяжелым шариком наклонить, то шарик обязательно покатится по желобу в сторону уклона. Невозмож­ным называется событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении комлекса условий S. Например, из герметичес­ки изолированного сосуда вода не может вылиться. Случайным относительно комплекса условий S называется событие, кото­рое при осуществлении указанного комплекса условий может либо произойти, либо не произойти. Например, если вы уро­нили фарфоровую чашку на пол, то она может как разбиться, так и остаться неповрежденной.

Теория вероятностей имеет дело со случайными события­ми. Однако она не может предсказать, произойдет единичное событие или нет. Теория вероятностей изучает вероятност­ные закономерности массовых однородных случайных собы­тий. Ее методы получили широкое распространение в различ­ных областях естествознания и в прикладных проблемах тех­ники. Теория вероятностей легла в основу теории массового обслуживания и теории надежности. В последние годы аппа­рат теории вероятностей активно используется в экономике.

17.1. Основные понятия теории вероятностей

Некоторые формулы комбинаторики

Пусть задано конечное множество элементов некоторой природы. Из них можно составлять определенные комбина­ции, количества которых изучает комбинаторика. Некоторые ее формулы используются в теории вероятности; приведем их.

Комбинации, состоящие из одной и той же совокупности п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения, называются перестановками. Число всех воз­можных перестановок определяется произведением чисел от единицы до п:

Пример 1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4 с использованием всех указанных цифр в каждом числе?

Решение. Искомое число равно Р4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24.

Комбинации по т элементов, составленные из п различных элементов (m ≤ п), отличающиеся друг от друга либо эле­ментами, либо их порядком, называются размещениями. Число всевозможных размещений

Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из семи различных цифр при отсутствии среди них нуля?

Решение. Искомое количество цифр

Комбинации, содержащие по т элементов каждая, состав­ленные из п различных элементов (m ≤ п) и различающиеся хотя бы одним элементом, называются сочетаниями. Число сочетаний дается формулой

Можно показать, что справедливы формулы

В частности, первую из формул удобно использовать в расче­тах, когда т > п/2.

Напомним формулу бинома Ньютона, в которой участвуют коэффициенты (17.1):

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать а) по три карты, б) по 32 карты из колоды, содержащей 36 игральных карт?

Решение. Искомое число способов:

Виды случайных событий

Выше было введено определение случайного события. Обычно в теории вероятностей вместо "совокупности условий" употребляют термин "испытание", и тогда событие трактует­ся как результат испытания. Например, стрельба по мишени: выстрел — это испытание, попадание в мишень — это собы­тие. Другой пример: подбрасывание монеты вверх — это ис­пытание, выпадение орла (или решки) — это событие.

Определение 1. События называют несовместными, если в одном и том же испытании появление одного из них исключает появление других. Например, выпадение орла при подбрасыва­нии монеты исключает появление в этом же испытании решки и наоборот.

Определение 2. Несколько событий образуют полную груп­пу, если в результате испытания появление хотя бы одного из них является достоверным событием. Например, при произве­дении выстрела по мишени (испытание) обязательно будет ли­бо попадание, либо промах; эти два события образуют полную группу.

Следствие. Если события, образующие полную груп­пу, попарно несовместны, то в результате испытания по­явится одно и только одно из этих событий.

Этот частный случай будет использован далее.

Классическое определение вероятности

Назовем каждый из возможных результатов испытания элементарным событием, или исходом. Те элементарные ис­ходы, которые интересуют нас, называются благоприятными событиями.

Определение 3. Отношение числа благоприятствующих со­бытию А элементарных исходов к общему числу равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, называется вероятностью события А.

Вероятность события А обозначается Р(А). Понятие веро­ятности является одним из основных в теории вероятностей. Данное выше определение является классическим. Из него вы­текают некоторые свойства.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть поло­жительное число:

Следовательно, вероятность любого события удовлетворя­ет неравенству

Отметим, что современные курсы теории вероятностей ос­нованы на теоретико-множественном подходе, в котором эле­ментарные события являются точками пространства элемен­тарных событий Ω; при этом событие А отождествляется с подмножеством элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, А Ω.

Приведем примеры непосредственного вычисления вероят­ностей.

Пример 4. В коробке лежит 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад шаров будет 4 белых.

Решение. Найдем число благоприятных исходов: число способов, которыми можно взять 4 белых шара из 6 имеющихся, равно C = C = . = 15. Общее число исходов определяется числом сочетаний из 10 по 5: C = 252. Согласно определению 3 искомая вероятность Р = 15/252 ≈ 0,06.

Пример 5. Какова вероятность того, что при заполнении кар­точки спортивной лотереи "6 из 36" будет угадано 4 номера?

Решение. Общее число исходов равно C = 1947792. Чис­ло благоприятных исходов равно С = 15. Отсюда искомая вероятность равна 7,7 ∙ 10-6.

Пример 6. В ящике находится 10 стандартных и 5 нестан­дартных деталей. Какова вероятность, что среди наугад взя­тых 6 деталей будет 4 стандартных и 2 нестандартных?

Решение. Общее число исходов равно С. Число благо­приятных исходов определяется произведением СС, где пер­вый сомножитель соответствует числу вариантов изъятия из ящика 4-х стандартных деталей из 10, а второй — числу вари­антов изъятия из ящика 2-х нестандартных деталей из пяти. Отсюда следует, что искомая вероятность равна

17.2. Теорема сложения вероятностей

Несовместные события

Определение 1. Суммой двух событий А и В называют со­бытие С = А + В, которое состоит в появлении либо события А, либо события В, либо событий A и В одновременно.

Это определение напоминает сумму множеств (см. гл. 1) и используется в теоретико-множественном подходе теории веро­ятностей. Примеры суммы событий: произведены два выстре­ла, и события А и В — попадания при первом и втором вы­стрелах соответственно; тогда А + В — попадание либо при первом выстреле, либо при втором, либо в обоих выстрелах. Если события А и В несовместные, то их сумма — это собы­тие, состоящее в появлении какого-либо из этих событий.

Аналогично определяется сумма нескольких событий, со­стоящая в появлении хотя бы одного из этих событий.

ТЕОРЕМА 1. Вероятность появления какого-либо из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих со­бытий:

Следствие. Вероятность появления какого-либо из нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Пример 1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 4 концентрические зоны. Вероятности попадания в эти области соответственно равны 0,4, 0,3, 0,2 и 0,1. Найти вероятность попадания либо в первую, либо во вторую зоны.

Решение. Пусть событие А — попадание в первую зону мишени, а событие В — попадание во вторую зону мишени. Эти события несовместны, поэтому применимы теорема 17.1 и формула (17.3) сложения вероятностей. Искомая вероятность равна

Полная группа событий

ТЕОРЕМА 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

Пример 2. На складе готовой продукции находятся изделия, среди которых 5% нестандартных. Найти вероятность того, что при выдаче изделия со склада оно будет стандартным.

Решение. Вероятность получения нестандартного изделия равна 0,05; события выдачи стандартного и нестандартного из­делия образуют полную группу. Следовательно, сумма их ве­роятностей равна единице, и тогда искомая вероятность рав­на 0,95.

Противоположные события

Определение 2. Два единственно возможных события, обра­зующих полную группу, называются противоположными.

Если событие обозначено через А, то противоположное ему событие обозначается через . Из теоремы 17.2 следует, что