Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 47 )

Предполагается, что спрос может оказаться высоким, сред­ним и низким.

Дерево имеет два типа вершин: "решающие" и "случай­ные".

Начиная с "решающей" вершины 1 необходимо принять ре­шение о полной замене оборудования или его ремонте.

Вершины 2 и 3 являются "случайными". Фирма будет рассматривать возможность установления более совершенного оборудования или повторного ремонта старого в том случае, если спрос по истечении одного года установится на высоком уровне. Поэтому в вершине 4 принимается решение о частич­ной замене старого оборудования более совершенным или ре­монте старого. Вершины 5 и 6 "случайные".

Предположим, что фирма рассматривает эту задачу на пя­тилетний период. Анализ рыночной ситуации показывает, что вероятности высокого, среднего и низкого уровней спроса со­ставляют 0,6, 0,3 и 0,1 соответственно. Замена новым обору­дованием того же вида, что и старое, обойдется в 2,5 млн р., а ремонт старого — в 0,8 млн р.

Затраты на частичную замену оборудования на более со­вершенное, чем старое, оцениваются в 1,5 млн р., а повторный ремонт старого — в 0,8 млн р.

Ежегодные доходы для каждой стратегии фирмы следую­щие.

1. Замена старого оборудования на новое того же вида при высоком, среднем и низком уровнях спроса дает 0,95; 0,7 и 0,45 млн р. соответственно.

2. Ремонт старого оборудования при высоком, среднем и низком уровнях спроса оценивается в 0,3; 0,15 и 0,1 млн р. соответственно.

3. Частичная замена оборудования на более совершенное при высоком, среднем и низком уровнях спроса составит 0,9; 0,6 и 0,4 млн р. соответственно.

4. Повторный ремонт старого оборудования при высоком, среднем и низком уровнях спроса предполагает 0,3; 0,2 и 0,1 млн р. соответственно.

Определить оптимальную стратегию фирмы в замене обо­рудования.

Решение. Оценим результаты каждой стратегии и опре­делим, какие решения следует принимать в "решающих" вершинах 1 и 4.

Вычисления начнем с этапа 2. Для последних 4 лет альтер­нативы, относящиеся к вершине 4, оцениваются так:

где ДЧЗ — доход от частичной замены оборудования на более совершенное, ДДР — доход от замены оборудования, прошед­шего дважды ремонт. Так как ДЧЗ > ДДР, то в вершине 4 выгоднее произвести частичную замену оборудования на более совершенное, при этом доход составит 1,54 млн р.

Для дальнейших расчетов в вершине 4 можно оставить од­ну ветвь, которой соответствует доход в 1,54 млн р. за 4 года.

Вычислим доходы на 1-м этапе для "решающей" верши­ны 1:

где ДЗН — доход от замены старого оборудования на новое того же вида, ДЗО — доход от отремонтированного оборудо­вания и дальнейшей замены на более совершенное.

Так как ДЗН > ДЗО, то оптимальным решением в верши­не 1 является полная замена старого оборудования на новое того же вида.

Ответ: Оптимальной стратегией фирмы в замене обору­дования является полная замена старого оборудования на новое того же вида, при этом доход составит 1,625 млн р.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти оптимальные стратегии и цену игры.

Построить игру, заданную задачей линейного программи­рования.

31.8. L() = x1 + 2x2 — x3 → max при ограничениях:

Решить задачу с использованием матричных игр.

31.9. Розничное торговое предприятие разработало несколько вариантов плана продаж товаров на предстоящей ярмарке с учетом конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получаю­щиеся от их возможных сочетаний показатели прибыли пред­ставлены в табл. 31.12.

Определить: а) оптимальный план продажи товаров и цену игры;

б) какой стратегии следует придерживаться торговому предприятию, если наиболее вероятной является ситуация: C1 — 30%, С2 — 30%, С3 — 40%?

31.10. Предприятие планирует выпуск трех партий новых ви­дов товаров широкого потребления в условиях неясной рыноч­ной конъюнктуры. Известны отдельные возможные состояния P1, P2, P3, P4, а также возможные объемы выпуска изделий по каждому варианту и их условные вероятности, которые пред­ставлены в табл. 31.13.

Определить предпочтительный план выпуска товаров ши­рокого потребления.

31.11. Фирма производит пользующиеся спросом детские пла­тья и костюмы, реализация которых зависит от состояния по­годы. Затраты фирмы в течение августа-сентября на едини­цу продукции составили: платья — 7 ден. ед., костюмы — 28 ден. ед. Цена реализации составляет 15 и 50 ден. ед. со­ответственно.

По данным наблюдении за несколько предыдущих лет, фир­ма может реализовать в условиях теплой погоды 1950 платьев и 610 костюмов, а при прохладной погоде — 630 платьев и 1050 костюмов.

В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую ей максимальный доход от реализации продукции. Задачу ре­шить графическим методом и с использованием критериев "природы", приняв степень оптимизма а = 0,5.

Решить задачи с использованием "дерева" решений.

31.12. Фирма может принять решение о строительстве средне­го или малого предприятия. Малое предприятие впоследствии можно расширить. Решение определяется будущим спросом на продукцию, которую предполагается выпускать на сооружае­мом предприятии. Строительство среднего предприятия эко­номически оправданно при высоком спросе. С другой стороны, можно построить малое предприятие и через два года его рас­ширить.

Фирма рассматривает данную задачу на десятилетний пе­риод. Анализ рыночной ситуации показывает, что вероятнос­ти высокого и низкого уровней спроса равны 0,75 и 0,25 соот­ветственно. Строительство среднего предприятия обойдется в 5 млн р., малого — в 1 млн р. Затраты на расширение через два года малого предприятия оцениваются в 4,2 млн р.

Ожидаемые ежегодные доходы для каждой из возможных альтернатив:

— среднее предприятие при высоком (низком) спросе дает 1 (0,3) млн р.;

— малое предприятие при низком спросе — 0,2 млн р.,

— малое предприятие при высоком спросе — 0,25 млн р. в течение 10 лет;

— расширенное предприятие при высоком (низком) спро­се — 0,9 (0.2) млн р.;

— малое предприятие без расширения при высоком спросе в течение первых двух лет и последующем низком спро­се — 0,2 млн р. в год за остальные восемь лет.

Определить оптимальную стратегию фирмы в строительстве предприятий.

31.13. Фирма может принять решение о замене старого обо­рудования новым того же вида или его ремонте. Отремонтиро­ванное оборудование впоследствии можно частично заменить на новое, более современное, или отремонтировать его заново.

Решение определяется будущим спросом на продукцию, ко­торую производят на этом оборудовании.

Полная замена оборудования экономически оправданна при высоком уровне спроса. С другой стороны, можно отремонти­ровать старое оборудование и через один год его заменить на новое, более совершенное, или заново его отремонтировать. На рис. 31.9 задача представлена в виде дерева решений.

Предполагается, что спрос может оказаться высоким, сред­ним и низким.

Фирма рассматривает эту задачу на пятилетний период. Анализ рыночной ситуации показывает, что вероятности вы­сокого, среднего и низкого уровней спроса составляют 0,6; 0,3 и 0,1 соответственно. Замена новым оборудованием того же ви­да, что и старое, обойдется в 3 млн р., а ремонт старого — в 1 млн р.

Затраты на частичную замену оборудования на более со­вершенное, чем старое, оцениваются в 2 млн р., а повторный ремонт старого — в 1 млн р.

Ежегодные доходы для каждой из альтернатив следующие.

1. Замена старого оборудования на новое того же вида при высоком, среднем и низком уровнях спроса дает 1,0; 0,75 и 0,5 млн р. соответственно.

2. Ремонт старого оборудования при высоком, среднем и низком уровнях спроса оценивается в 0,35; 0,2 и 0,17 млн р. соответственно.

3. Частичная замена оборудования на более совершенное при высоком, среднем и низком уровнях спроса составит 0,95; 0,7 и 0,45 млн р. соответственно.

4. Повторный ремонт старого оборудования при высоком, среднем и низком уровнях спроса предполагает 0,35; 0,25 и 0,17 млн р. соответственно.

Определить оптимальную стратегию фирмы в замене обо­рудования.

32.1. Формулировка задачи и характеристики СМО

Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: оче­редь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вы­шедших из строя и ожидающих ремонта, и т. д. Все эти ситу­ации объединяет то обстоятельство, что системам необходимо пребывать в состоянии ожидания. Ожидание является следст­вием вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих сис­тем, которые называют системами массового обслуживания (СМО).

Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под конт­роль некоторые характеристики системы, установить зави­симость между числом обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслужинания тем выше, чем больше число обслуживающих единиц. Но экономически невыгодно иметь лишние обслуживающие единицы.

В промышленности СМО применяются при поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад и вы­даче их со склада; обработке широкой номенклатуры дета­лей на одном и том же оборудовании; организации наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности обслуживающих отделов и служб предприятий и т. д.

Основными элементами СМО являются источники заявок, их входящий поток, каналы обслуживания и выходящий по­ток. Схематически это изображено на рис. 32.1.

В зависимости от характера формирования очереди СМО различают:

1) системы с отказами, в которых при занятости всех кана­лов обслуживания заявка не встает в очередь и покидает систему необслуженной;

2) системы с неограниченными ожиданиями, в которых за­явка встает в очередь, если в момент ее поступления все каналы были заняты.

Существуют и системы смешанного типа с ожиданием и ограниченной длиной очереди: заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обслуживается обязательно.

По числу каналов обслуживания СМО делятся на однока­нальные и многоканальные.

В зависимости от расположения источника требований сис­темы могут быть разомкнутыми (источник заявок находится вне системы) и замкнутыми (источник находится в самой сис­теме) .

Рассмотрим в отдельности элементы СМО.

Входящий поток: на практике наиболее распространенным является простейший поток заявок, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия.

Стационарность характеризуется тем, что вероятность поступления определенного количества требований (заявок) в течение некоторого промежутка времени зависит только от длины этого промежутка.

Ординарность потока определяется невозможностью одно­временного появления двух или более заявок.

Отсутствие последействия характеризуется тем, что по­ступление заявки не зависит от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента. В этом случае вероятность того, что число заявок, поступивших на обслуживание за промежу­ток времени t, равно k, определяется по закону Пуассона

где λ — интенсивность потока заявок, т. е. среднее число за­явок в единицу времени:

где — среднее значение интервала времени между двумя со­седними заявками.

Для такого потока заявок время между двумя соседними заявками распределено экспоненциально с плотностью вероят­ности

Случайное время ожидания в очереди начала обслужива­ния считают распределенным экспоненциально:

где v — интенсивность движения очереди, т. е. среднее число заявок, приходящих на обслуживание в единицу времени:

где оч — среднее значение времени ожидания в очереди.

Выходящий поток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где длительность обслуживания обc является слу­чайной величиной и часто подчиняется показательному закону распределения с плотностью

где μ — интенсивность потока обслуживания, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени:

где обс — среднее время обслуживания.

Важной характеристикой СМО, объединяющей λ и μ, яв­ляется интенсивность нагрузки

Рассмотрим n-канальные разомкнутые СМО.

32.2. СМО с отказами

Основные понятия

Заявка, поступившая в систему с отказами и нашедшая все каналы занятыми, получает отказ и покидает систему необслу­женной. Показателем качества обслуживания выступает веро­ятность получения отказа. Предполагается, что все каналы до­ступны в равной степени всем заявкам, входящий поток явля­ется простейшим, длительность (время) обслуживания одной заявки (tобс) распределена по показательному закону.

Формулы для расчета установившегося режима

1. Вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок (k = 0):

2. Вероятность отказа в обслуживании, когда поступив­шая на обслуживание заявка найдет все каналы заня­тыми (k = п):

3. Вероятность обслуживания:

Pобс = 1 - Pотк.

4. Среднее число занятых обслуживанием каналов:

5. Доля каналов, занятых обслуживанием:

6. Абсолютная пропускная способность СМО:

32.3. СМО с неограниченным ожиданием

Основные понятия

Заявка, поступившая в систему с неограниченным ожида­нием и нашедшая все каналы занятыми, становится в очередь, ожидая освобождения одного из каналов.

Основной характеристикой качества обслуживания являет­ся время ожидания (время пребывания заявки в очереди).

Для таких систем характерно отсутствие отказа в обслу­живании, т. е. Ротк = 0 и Робс = 1.

Для систем с ожиданием существует дисциплина очереди:

1) обслуживание в порядке очереди по принципу "первым пришел — первым обслужен";

2) случайное неорганизованное обслуживание по принципу "последний пришел — первым обслужен";

3) обслуживание с приоритетами по принципу "генералы и полковники вне очереди".

Формулы для установившегося режима

1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k = 0):

Предполагается, что ρ/п < 1.

2. Вероятность занятости обслуживанием k заявок:

3. Вероятность занятости обслуживанием всех каналов:

4. Вероятность того, что заявка окажется в очереди:

5. Среднее число заявок в очереди:

6. Среднее время ожидания заявки в очереди:

7. Среднее время пребывания заявки в СМО:

8. Среднее число занятых обслуживанием каналов:

9. Среднее число свободных каналов:

10. Коэффициент занятости каналов обслуживания:

11. Среднее число заявок в СМО:

32.4. СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди

Основные понятия

Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограничен­ной длиной очереди и нашедшая все каналы и ограниченную очередь занятыми, покидает систему необслуженной.

Основной характеристикой качества системы является от­каз заявке в обслуживании.

Ограничения на длину очереди могут быть из-за:

1) ограничения сверху времени пребывания заявки в оче­реди;

2) ограничения сверху длины очереди;

3) ограничения общего времени пребывания заявки в сис­теме.

Формулы для установившегося режима

1. Вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок (k = 0):

2. Вероятность отказа в обслуживании:

3. Вероятность обслуживания:

4. Абсолютная пропускная способность:

5. Среднее число занятых каналов:

6. Среднее число заявок в очереди:

7. Среднее время ожидания обслуживания:

8. Среднее число заявок в системе:

9. Среднее время пребывания в системе:

32.5. Определение эффективности использования трудовых и производственных ресурсов в системах массового обслуживания

Рассмотрим задачу с использованием СМО с отказами.

Пример 1. В ОТК цеха работают три контролера. Если де­таль поступает в ОТК, когда все контролеры заняты обслу­живанием ранее поступивших деталей, то она проходит не­проверенной. Среднее число деталей, поступающих в ОТК и течение часа, равно 24, среднее время, которое затрачивает один контролер на обслуживание одной детали, равно 5 мин. Определить вероятность того, что деталь пройдет ОТК не обслуженной, насколько загружены контролеры и сколько их необходимо поставить, чтобы Р*обс ≥ 0,95 (* — заданное значение Робс).

Решение. По условию задачи λ = 24дет./ч = 0,4дет./мин, обс = 5 мин, тогда μ = 0,2, ρ = λ / μ = 2.

1. Вероятность простоя каналов обслуживания:

2. Вероятность отказа в обслуживании:

3. Вероятность обслуживания:

4. Среднее число занятых обслуживанием каналов:

5. Доля каналов, занятых обслуживанием:

6. Абсолютная пропускная способность:

При п = 3 Робс = 0,79 ≤ Р*обс = 0,95. Произведя аналогич­ные расчеты для п = 4, получим

Так как Робс = 0,907 ≤ Р*обс = 0,95, то, произведя расчеты для п = 5, получим

Ответ. Вероятность того, что при п = 3 деталь прой­дет ОТК необслуженной, составляет 21%, и контролеры будут заняты обслуживанием на 53%.

Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 95%, необходимо не менее пяти контролеров.

Рассмотрим задачу с использованием СМО с неограничен­ным ожиданием.

Пример 2. Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров (п = 3) для обслуживания вкладчиков. Поток вкладчиков посту­пает в сберкассу с интенсивностью λ = 30 чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром од­ного вкладчика обс = 3 мин.

Определить характеристики сберкассы как объекта СМО.

Решение. Интенсивность потока обслуживания μ = 1/обс = 1/3 = 0,333, интенсивность нагрузки ρ = 1,5.

1. Вероятность простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня:

2. Вероятность застать всех контролеров-кассиров заняты­ми:

3. Вероятность очереди: