Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 20 )

Отсюда Р'(0) =2C2 - 1 и Р"(0) = -4C2 - 3. Подставляя эти равенства во второе условие задачи, т. е. D(0) = 16, имеем с учетом вида D(t) из первой формулы (11.20): С2 = -1. Итак, решение данной задачи имеет вид

или в более удобной форме:

Интегральные кривые, соответствующие задачам 1 и 2, изоб­ражены на рис. 11.5.

УПРАЖНЕНИЯ

11.1. Используя формулу (11.13) динамики национального до­хода Y(t) по модели Кейнса,

а) проанализировать роль каждого параметра в увеличе­нии величины Yр согласно формуле (11.12), что ведет к паде­нию Y(t);

б) вывести рекомендации по изменению параметров, опи­сывающих основные экономические показатели;

в) выбрать более предпочтительные изменения, указанные в п. б, применительно к условиям России.

11.2. Найти динамику цены Р на товар, если прогноз спроса и предложения описывается следующими соотношениями:

11.3. В условиях предыдущей задачи какой из трех случаев описывает паническое состояние на рынке и с чем это связано?

Часть 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

12.1. Векторное пространство

Понятие и основные свойства вектора

Приведем обобщение понятия вектора на n-мерный случай.

Определение 1. Любой упорядоченный набор из п действи­тельных чисел a1, a2, ..., ап называется п-мерным вектором ; при этом числа, составляющие упомянутый набор, называются координатами (компонентами) вектора .

Определение 2. Совокупность всех n-мерных векторов назы­вается n-мерным векторным пространством Rn.

Координаты n-мерного вектора можно расположить либо в строку:

либо в столбец:

Запись вида (12.1) называется вектором-строкой, а вида (12.2) — вектором-столбцом.

Определение 3. Два вектора с одним и тем же числом коор­динат

называются равными, если их соответствующие координаты равны, т. е.

Определение 4. Вектор, все координаты которого равны ну­лю, называется нулевым вектором

Операции над векторами

Пусть векторы и принадлежат n-мерному векторному пространству Rn:

Будем называть суммой векторов и вектор , координа­ты которого равны суммам соответствующих координат этих векторов:

Пусть λ — любое действительное число. Произведением вектора на число λ будем называть вектор, координаты ко­торого получаются умножением соответствующих координат вектора на это число:

Из введенных таким образом операций над векторами вы­текают следующие свойства этих операций. Пусть , и — произвольные векторы n-мерного векторного пространства. Тогда:

1) + = + — переместительное свойство;

2) ( + ) + = + ( + ) — сочетательное свойство;

3) λ( + ) = λ + λ, где λ — действительное число;

4) (λ + μ) = λ + μ , где λ и μ — действительные числа;

5) λ(μ) = (λμ) , где λ и μ — действительные числа;

6) + = ;

7) для любого вектора существует такой вектор - , что - = (-1) , + (- ) = ;

8) 0 = для любого вектора .

Скалярное произведение векторов

Определение 5. Скалярным произведением векторов (12.3) называется число, состоящее из суммы произведений соответ­ствующих координат этих векторов:

Как мы видим, формально такое определение скалярного произведения двух векторов согласуется с аналогичным опре­делением двух - и трехмерных векторов. Из данного определе­ния следуют основные свойства скалярного произведения век­торов:

1) = ;

2) (λ) = (λ) = λ(), где λ — действительное число;

3) (+) = + ;

4) > 0, если ≠ , и = 0, если = .

Введем понятие модуля вектора (его длины) и угла между векторами в виде обобщения на случай п > 3.

Определение 6. Для векторов из n-мерного векторного про­странства модуль вектора и угол φ между двумя ненулевыми векторами и определяются по формулам:

Укажем одно важное свойство векторов. Векторы и бу­дем называть ортогональными, если их скалярное произведе­ние равно нулю:

Равенство (12.5) является аналогом условия перпендику­лярности векторов в двух - и трехмерном случаях, когда в ра­венстве (12.4) cosφ = 0.

12.2. Линейная зависимость векторов

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупнос­тью векторов одной размерности. Такие совокупности называ­ют системой векторов и обозначают одной буквой и порядко­вым номером:

Определение 1. Линейной комбинацией векторов (12.6) назы­вается вектор вида

где λ1, λ2, ..., λk — любые действительные числа.

Например, пусть даны три вектора: 1 = (1, 2, 0), 2 = (2, 1, 1) и 3 = (-1, 1, -2). Их линейной комбинацией с коэффициентами соответственно 2, 3 и 4 является вектор = (4, 11, -5).

В случае равенства (12.7) говорят также, что вектор ли­нейно выражается через векторы (12.6) или разлагается по этим векторам.

Определение 2. Система ненулевых векторов (12.6) называ­ется линейно зависимой, если существуют такие числа λ1, λ2, ..., λk, не равные одновременно нулю, что линейная комбина­ция данной системы с указанными числами равна нулевому вектору:

Если же равенство (12.8) для данной системы векторов (12.6) возможно лишь при λ1 = λ2 = ... = λk = 0, то эта система векторов называется линейно независимой.

Например, система двух векторов 1 = (1, 0) и 2 = (0, 2) является линейно независимой; система двух векторов 1 = (1, 2, 1) и 2 = (2, 4, 2) является линейно зависимой, так как 2 — 21 = .

Пусть система векторов (12.6) является линейно зависи­мой. Выберем в сумме (12.8) слагаемое, в котором коэффициент λs ≠ 0, и выразим его через остальные слагаемые:

Как видно из этого равенства, один из векторов линейно зави­симой системы (12.7) оказался выраженным через другие век­торы этой системы (или разлагается по остальным ее векто­рам).

Укажем свойства линейно зависимой системы векторов.

1. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, ли­нейно независима.

2. Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно за­висима.

3. Система, содержащая более одного вектора, линейно за­висима тогда и только тогда, когда среди ее векторов содер­жится по крайней мере один вектор, который линейно выра­жается через остальные.

Геометрический смысл линейной зависимости векторов очевиден для случаев двумерных векторов на плоскости и трех­мерных векторов в пространстве. В случае двух векторов, ког­да один вектор выражается через другой, мы имеем

т. е. эти векторы коллинеарны, или, что то же самое, находятся на параллельных прямых. В пространственном случае три ли­нейно зависимых вектора параллельны одной плоскости, т. е. компланарны (рис. 12.1); достаточно "подправить" соответ­ствующими сомножителями длины этих векторов, чтобы один из них стал суммой двух других или выражался через них.

Справедлива следующая теорема, которую мы приводим без доказательства.

ТЕОРЕМА 1. В пространстве Rn любая система, содержа­щая т векторов, линейно зависима при т > п.

Базис и ранг системы векторов

Рассмотрим систему векторов

Максимально независимой подсистемой этой системы векто­ров называется частичный набор векторов системы, удовле­творяющий двум условиям: а) векторы этого набора линейно независимы, б) любой вектор системы линейно выражается че­рез векторы этого набора.

Справедлива теорема, утверждающая, что все максималь­но независимые подсистемы данной системы векторов содер­жат одно и то же число векторов. Максимально независимая подсистема системы векторов называется ее базисом; векторы, входящие в базис, называются базисными векторами. Будем называть рангом системы векторов число векторов ее базиса. Понятно, что если ранг системы векторов меньше числа k ее векторов, то она может иметь несколько базисов.

Понятие базиса распространяется и на пространство Rn, которое является системой, содержащей всю бесконечную со­вокупность n-мерных векторов.

Определение 3. Система n векторов называется базисом про­странства Rn,если:

1) векторы этой системы линейно независимы;

2) всякий вектор из Rn линейно выражается через векторы данной системы.

12.3. Разложение вектора по базису

Представление вектора в произвольном базисе

Пусть система векторов

является базисом, а вектор — их линейной комбинацией. Име­ет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Разложение любого вектора в базисе, если оно существует, является единственным.

Доказательство. Предположим, что вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов (12.9) двумя способами:

где наборы чисел αi и βi, среди которых обязательно есть не­нулевые значения, не совпадают. Вычитая одно равенство из другого, имеем

Мы получили, что линейная комбинация векторов системы (12.9), в которой не все коэффициенты равны нулю (в силу несовпадения αi и βi), равна нулю, т. е. данная система оказа­лась линейно зависимой, что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает теорему.

Стало быть, в произвольном базисе пространства Rn

любой вектор этого пространства обязательно представим в виде разложения по базисным векторам:

причем это разложение является единственным для данного базиса. Коэффициенты разложения

называются координатами вектора в базисе (12.10), и, как следует из сказанного, этот набор единственный для любого вектора из Rn в данном базисе.

Задача нахождения коэффициентов разложения в случае произвольного базиса (12.10) является, вообще говоря, непро­стой. Нужно приравнять соответствующие координаты линей­ной комбинации векторов слева и координаты вектора в (12.11). Пусть базисные векторы и вектор заданы в следующей координатной форме:

Выполнение процедуры, описанной выше, приводит к системе п линейных уравнений относительно п неизвестных координат разложения вектора в базисе (12.10):

Такие системы уравнений и методы их решения представляют отдельные разделы линейной алгебры; они будут рассмотрены в следующих главах.

Разложение вектора в ортогональном базисе

Рассмотрим базис пространства Rn, в котором каждый век­тор ортогонален остальным векторам базиса:

Ортогональные базисы хорошо известны и широко использу­ются на плоскости и в пространстве (рис. 12.2). Базисы такого вида удобны прежде всего тем, что координаты разложения произвольного вектора определяются по весьма простой про­цедуре, не требующей трудоемких вычислений.

Действительно, пусть требуется найти разложение произ­вольного вектора в ортогональном базисе (12.13). Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения в данном базисе:

Умножим обе части этого равенства, представляющие собой векторы, на вектор 1. В силу свойств 2 и 3 скалярного произ­ведения векторов имеем

Однако в силу взаимной ортогональности векторов базиса (12.13) все скалярные произведения векторов базиса, за исклю­чением первого, равны нулю, т. е. коэффициент α1 определяется по формуле

Умножая поочередно равенство (12.14) на другие базисные век­торы, мы получаем простую формулу для вычисления коэффи­циентов разложения вектора :

Нетрудно видеть, что соотношения (12.15) имеют смысл, по­скольку | i| ≠ 0.

Отметим особо частный случай ортогонального базиса, когда все векторы в (12.13) имеют единичную длину (| i| = 1), или нормированы по своей длине. В таком случае базис назы­вают ортонормированным и координаты разложения (12.15) имеют наиболее простой вид: