Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 16 )

Это условие приводит к системе алгебраических уравнений от­носительно переменных хi

Система уравнений (8.12) реализует известное правило эконо­мики: предельная стоимость (цена) товара равна предельным издержкам на производство этого товара. Решениями этой сис­темы уравнений являются наборы, состоящие из т значений каждый. Нужно заметить, что сам процесс нахождения реше­ния системы уравнений (8.12) зависит от вида функции издер­жек и может быть достаточно сложным.

Приведем конкретный пример. Пусть производятся два ви­да товаров, обозначим их количества через x и у. Пусть P1 = 8 и Р2 = 10 — цены на эти товары соответственно, а С = х2 + ху + у2 — функция затрат. Тогда согласно (8.11) при x1 = х, x2 = y прибыль является функцией двух перемен­ных:

Условия локального экстремума приводят к системе линейных алгебраических уравнений

решением которой является точка (2,4). Поскольку

то найденная точка определяет локальный максимум функции прибыли, который равен Пmах = 28.

Оптимальное распределение ресурсов

Рассмотрим типичную задачу оптимального распределе­ния ресурсов на примере функции выпуска и = а0ху2 при до­пущении, что функция затрат на ресурсы x и у линейна, т. е. имеет вид и = Р1х+Р2у, где P1 и Р2 — соответствующие цены на эти факторы.

В точке F(x0, y0), определяющей оптимальное определение ресурсов, линии уровня функций выпуска и затрат касают­ся (рис. 8.5). Эти линии определяются соответственно уравне­ниями a0xy2 = C, Р1х + Р2у = А, или у = (b/x)1/2, у = —(Р1/Р2)х + А/Р2, где C > 0 и A > 0 — постоянные числа, b =C/a0. Условие касания этих линий дается уравнением

Из этого уравнения определяется значение x0 = b1/3(P2/2P1)2/3. Тогда из уравнения линии уровня функции выпуска определя­ется значение у0 = (b/x0)1/2 = b1/3(2P1/P2)1/3. Отсюда полу­чаем, что оптимальное распределение ресурсов х0/у0 должно быть произведено в отношении Р2 : 2P1.

Максимизация прибыли производства продукции

Функция прибыли обычно вычисляется по формуле

где F(K, L) — производственная функция, Р — цена продук­ции, W и R — соответственно факторные цены на труд и ка­питальные затраты, L и К — соответственно затраты трудо­вых ресурсов и капитала. Рассмотрим две задачи, связанные с определением максимума прибыли.

1. Точка (K0, L0) называется оптимальным планом, если в ней функция прибыли (8.13) принимает максимальное зна­чение. Найти предельную норму замещения производственной функции F при оптимальном плане.

В точке локального экстремума первые производные функ­ции прибыли П(K, L) равны нулю, откуда имеем систему двух уравнений

Как известно, предельная норма замещения вычисляется по формуле μ = -F'L / F'K, откуда при оптимальном плане полу­чаем μ = -W/R.

2. Максимизация функции прибыли. Найти оптимальный план и максимум функции прибыли (8.13), если F(K, L) = 2(K L)1/3.

В данном случае функция прибыли имеет вид

Условия локального экстремума приводят к системе двух ли­нейных алгебраических уравнений относительно координат К0 и L0 оптимального плана

Отсюда получаем координаты оптимального плана:

Подстановка этих величин в функцию прибыли дает ее макси­мум:

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов относится к методам аппро­ксимации, или приближенного восстановления функции по из­вестным ее значениям в ряде точек. На практике часто возни­кает задача о наилучшем подборе эмпирических формул, поз­воляющих представить в аналитической форме данные статис­тических наблюдений, измерений и т. д. Задача формулируется следующим образом: имеются данные наблюдений в п точках

некоторой величины и и получены соответствующие значения

Нужно подобрать функцию определенного вида и = f(М), что­бы она по возможности наиболее точно отражала общую зави­симость измеряемой величины и от параметров (координат) точек измерения {Мi}.

Таким образом, задача нахождения эмпирических формул состоит из двух этапов:

1) определение общего вида зависимости f(M) или вида функции f с точностью до постоянных параметров (коэффи­циентов), входящих в нее;

2) неизвестные коэффициенты подбираются таким образом, чтобы в точках наблюдений (8.14) подобранная функция как можно лучше отвечала данным измерений (8.15).

Итак, пусть на первом этапе определено, что эмпирическая формула должна включать совокупность известных базовых функций

т. е. эта формула должна иметь вид

где

— неизвестные параметры эмпирической функции.

Второй этап состоит в определении неизвестных парамет­ров (8.18). Их следует выбрать такими, чтобы значения функ­ции (8.17) по возможности наименее всего отклонялись в точ­ках (8.14) от измеренных значений (8.15).

Метод наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратов погрешностей (отклонений) δi (рис. 8.6) функции (8.17) в точках (8.14) как функции от т аргумен­тов — неизвестных параметров:

Для установления точки минимума функции (8.19) т перемен­ных (8.18) нужно найти частные производные этой функции по всем т аргументам и приравнять их к нулю. Отсюда полу­чается система т линейных алгебраических уравнений отно­сительно т неизвестных параметров (8.18)

Коэффициенты и свободные члены уравнений этой системы определяются по формулам

Поскольку функция (8.19) является положительной, выпуклой вниз и неограниченной в евклидовом пространстве Em, то ре­шение системы уравнений (8.20) представляет собой коорди­наты точки ее локального минимума.

При обработке данных экономической статистики наиболее распространенным является приближение эмпирической фор­мулой в виде линейной функции одной переменной (например, это широко используется в трендовом анализе). В этом случае совокупность точек измерения (8.14) представляет собой на­бор значений аргумента x1, х2, ..., xп, а совокупность функций (8.16) состоит из двух функций: x и 1. Эмпирическая формула (8.17) имеет вид

Неизвестные параметры а и b определяются из системы двух линейных уравнений

в которой коэффициенты и свободные члены выражаются фор­мулами

УПРАЖНЕНИЯ

Найти области определения функций.

Построить линии уровня функций.

Найти частные производные от функций.

Найти градиент и его модуль для функций в указанных точках.

8.29. Доказать, что для функций, указанных в задачах 8.23 и 8.24, модуль градиента равен единице во всей области опреде­ления.

Найти частные производные второго порядка.

Найти экстремумы функций.

8.43. Найти размеры цилиндра наибольшего объема, если его полная поверхность равна 6π.

8.44. Цены на два вида товаров равны соответственно Р1 = 32 и P2 = 24 денежным единицам. Определить, при каких коли­чествах х и у продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет вид С = х2 + 2ху + у2.

8.45. В результате эксперимента для пяти значений аргумента x получены пять значений величины и:

Методом наименьших квадратов найти функциональную зави­симость между х и и в виде линейной функции и = ах + b.

Часть 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Дифференциальные уравнения занимают особое место в ма­тематике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построе­нию математических моделей, основой которых являются диф­ференциальные уравнения.

В дифференциальных уравнениях неизвестная функция со­держится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функ­ций, представляющих собой решения этих уравнений.

В этой части излагаются элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции за­висят от одной переменной. Теория дифференциальных урав­нений, когда неизвестные функции зависят от нескольких пере­менных — уравнения в частных производных, является более сложной и представляет специальный раздел математики.

9.1. Основные понятия

Базовые определения

Определение 1. Уравнение вида

где х — независимая переменная, у и у' — соответственно не­известная функция и ее производная, называется дифференци­альным уравнением первого порядка.

Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

В случае когда из уравнения можно выразить у', оно имеет вид

Уравнение (9.1) называется уравнением первого порядка, раз­решенным относительно производной. В дальнейшем будем рассматривать уравнения первого порядка именно такого ви­да. Примеры уравнений, разрешенных относительно производ­ной:

Приведем примеры уравнений, которые можно разрешить относительно производной неизвестной функции у'.

Пример 1. (y')2 = x2 + у2, откуда получаем два уравнения первого порядка у' = ±.

Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = φ(x), определенная на некотором интервале (а, b), которая при подстановке в урав­нение обращает его в тождество.

Например, функция у = х2 тождественно обращает в нуль левую часть уравнения ху' — 2х2 = 0 и потому представляет собой решение этого уравнения.

В теории дифференциальных уравнений основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него дает теорема Коши, которую мы приводим без доказательства.

ТЕОРЕМА 1. Пусть дано дифференциальное уравнение (9.1). Если функция f(x,y) и ее частная производная f'y(x,y) непре­рывны в некоторой области D плоскости Оху, то в неко­торой окрестности любой внутренней точки (x0, у0) этой области существует единственное решение уравнения (9.1), удовлетворяющее условию у = у0 при х = x0.

График решения дифференциального уравнения называет­ся интегральной кривой. В области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определенных условий через каждую внутрен­нюю точку области D проходит только одна интегральная кри­вая. Условия, которые задают значение функции у0 в фиксиро­ванной точке x0, называют начальными условиями (условиями Коши) и записывают в такой форме:

Задача нахождения решения уравнения (9.1), удовлетворя­ющего условию (9.2), называется задачей Коши — из множес­тва интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку (x0, y0) области D.

В ряде случаев, когда условия теоремы Коши не выполне­ны, через некоторые точки плоскости Оху либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо проходит более одной ин­тегральной кривой; эти точки называются особыми точками данного дифференциального уравнения.

Определение 3. Общим решением уравнения (9.1) называет­ся функция у = φ(x, С), удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной С.

Определение 4. Частным решением уравнения (9.1) в облас­ти D называется функция у = φ(х, С0), полученная при опре­деленном значении постоянной С = С0.

Общее решение у = φ(x, С) описывает семейство интег­ральных кривых на плоскости Оху. Условия Коши (9.2) фик­сируют произвольную постоянную С и позволяют выбрать из семейства интегральных кривых уравнения (9.1) одну интег­ральную кривую у = φ(x,C0), проходящую через заданную точку (x0, y0).

Например, рассмотрим уравнение у' = 2х. Правая часть этого уравнения удовлетворяет условиям теоремы Коши во всех точках плоскости Оху (функции f(x, у) = 2х и f'y(x, у) 0 определены и непрерывны на всей плоскости Оху). Нетруд­но видеть, что общим решением уравнения является функция у = х2 + С, где С — произвольная постоянная, описывающая семейство парабол (рис. 9.1). Для отыскания частного решения зададим произвольные начальные условия (9.2) и подставим их в формулу общего решения; получаем, что С = у0 — x02, откуда находим частное решение у = х2 + у0 – х02. Это частное решение выделяет из семейства парабол одну, проходящую через точку (х0, у0).

Геометрический смысл уравнения первого порядка

Рассмотрим уравнение у' = f(x,y). Пусть у = φ(x) — его решение, график которого представляет собой непрерыв­ную интегральную кривую, причем в каждой ее точке сущест­вует касательная. Из дифференциального уравнения следует, что угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в каждой ее точке равен правой части этого уравнения. Сле­довательно, уравнение первого порядка задает угловой коэф­фициент у' касательной к интегральной кривой как функцию двух переменных. Если каждой точке (x, у) сопоставить отрезок, направленный под углом наклона α = arctg (f (x, y)) к оси Ох, то мы получим поле направлений данного уравнения. В этом и заключается геометрический смысл дифференциально­го уравнения первого порядка.

Поле направлений позволяет проанализировать решение дифференциального уравнения и даже приближенно построить интегральные кривые.

Пример 1. Построить поле направлений уравнения y' = x2 - y.

Решение. Нетрудно видеть, что правая часть этого урав­нения удовлетворяет условиям теоремы Коши единственности и существования решения при любых x и у, т. е. интегральные кривые заполняют всю плоскость Оху. Найдем линии, на ко­торых наклон направлений одинаков, — так называемые изоклины. Так, если у' = 0, то имеем x2 - у = 0, т. е. на параболе у = x2 касательные к интегральным кривым горизонтальны (короткие черточки на рис. 9.2). При у' = 1 имеем х2 — у = 1, т. е. касательные к интегральным кривым направлены под уг­лом 45° к оси Ох на параболе у = х2 - 1. Наконец, на параболе у = x2 + 1 угол наклона касательных равен 135°. По полю на­правлений можно приближенно восстановить ход интеграль­ных кривых (сплошные линии).