Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 17 )

9.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Определение 5. Дифференциальное уравнение вида

где f1(x) и f2(y) — непрерывные функции, называется уравне­нием с разделяющимися переменными.

Подчеркнем, что правая часть уравнения представляет со­бой произведение, в котором один сомножитель зависит только от х, а другой — только от у. Метод решения такого вида урав­нений носит название разделения переменных. Запишем производную у' в ее эквивалентной форме как отношение дифферен­циала функции к дифференциалу независимой переменной , умножим обе части уравнения (9.3) на dx и поделим обе его части на f2(y), полагая, что f2(у) ≠ 0; получаем

В этом уравнении переменная у входит в левую часть, а пе­ременная х — только в правую, т. е. переменные разделены. Пусть у = φ(x) является решением уравнения (9.3), тогда при подстановке этого решения в уравнение (9.4) получаем тож­дество: два дифференциала равны друг другу, только в правой части дифференциал выражен через независимую переменную x, а в левой части — через функцию у. Поскольку дифференци­алы равны, то их неопределенные интегралы различаются на постоянную величину, т. е., интегрируя слева по переменной у, а справа по переменной х, получаем

где С — произвольная постоянная.

Рассмотрим примеры решения уравнений методом разде­ления переменных.

Пример 1. ху' — у = 0, найти частное решение при начальных условиях у0 = 2 при x0 = -4.

Решение. Разделим переменные, для чего перенесем у в правую часть, поделим обе части полученного уравнения на ху и умножим их на dx; получим

Интегрируя обе части этого уравнения (правую по x, а левую по у), имеем

где С — произвольная постоянная. При потенцировании полу­чаем

что эквивалентно уравнению у = ±Сх, или у = С1х. Получен­ная функция представляет семейство интегральных кривых. Для выделения частного решения при указанных начальных условиях подставим в эту формулу х = -4 и у = 2, откуда получим значение для С: С = -1/2. Окончательно частное решение имеет вид

Пример 2. у' = х, найти частное решение, проходящее через точку (0,1).

Решение. Разделяя переменные, получаем уравнение в дифференциалах

Интегрируя, имеем

где С — произвольная постоянная величина. После интегриро­вания (интеграл в правой части берется при помощи замены переменной) имеем уравнение семейства интегральных кривых

Выделение частного решения, проходящего через точку (0, 1), приводит к определению произвольной постоянной: С =, т. е. эта кривая описывается уравнением (с учетом выбора знака)

9.3. Неполные уравнения

Определение 6. Дифференциальное уравнение первого поряд­ка (9.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.

Различают два случая такой зависимости.

1. Пусть функция f зависит только от х. Переписав это уравнение в виде

нетрудно убедиться, что его решением является функция

2. Пусть функция f зависит только от у, т. е. уравнение (9.1) имеет вид

Дифференциальное уравнение такого вида называется авто­номным. Такие уравнения часто употребимы в практике мате­матического моделирования и исследования природных и физи­ческих процессов, когда, например, независимая переменная х играет роль времени, не входящего в соотношения, описываю­щие законы природы. В этом случае особый интерес представ­ляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки,— нули функции f(у), где производная у' = 0.

Решение уравнения (9.6) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения не­известной функции у = φ(x) (или х = ψ(у)):

В общей теории дифференциальных уравнений развита те­ория качественного анализа, основанная на исследовании ха­рактера стационарных точек.

9.4. Линейные уравнения первого порядка

Определение 7. Уравнение вида

где р(х) и q(x) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение в первой степени — линейно, что и объясняет на­звание уравнения.

Если q(x) 0, то уравнение (9.7) называется линейным однородным уравнением; если же функция q(x) не равна тож­дественно нулю, то уравнение (9.7) называется линейным не­однородным уравнением.

Для линейного уравнения первого порядка можно выписать общее решение с помощью метода вариации постоянной. Здесь это решение приводится без вывода:

Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заме­нами неизвестной функции у(х). К таковым относится уравне­ние Бернулли

где р и q — непрерывные функции, a n — некоторое постоянное число. При п = 0 имеем линейное неоднородное уравнение, а при n = 1 — линейное однородное уравнение

Пусть п ≠ 0, n ≠ 1. Введем новую функцию

тогда

Поделим обе части уравнения (9.9) на уn:

Умножая обе части этого уравнения на (1 — n), с учетом выра­жений для новой функции z и ее производной получаем линей­ное дифференциальное неоднородное уравнение относительно неизвестной функции z(x):

В этом уравнении, метод решения которого нам известен, функ­ция z(x) связана с искомой функцией у(x) соотношением (9.10).

Рассмотрим примеры решения неоднородных уравнений первого порядка.

Решение. Это линейное неоднородное уравнение перво­го порядка. Последовательное интегрирование в формуле (9.8) при р(х) = x2 и q(x) = х2 дает

(этот интеграл берется с помощью подстановки t = х3 в фор­мулу (9.8)). Получаем решение дифференциального уравнения:

Решение. Тот же прием, что и в предыдущем примере, при р(х) = 1/х и q(x) = eх дает нам решение

Решение. Данное нелинейное уравнение представляет со­бой уравнение Бернулли при п = 3. Заменой искомой функции z = у-2, согласно (9.10) и (9.11), получим линейное неоднород­ное уравнение относительно z(х)

По формуле (9.8) получаем общее решение этого уравнения:

Теперь, выполняя обратную замену у = ±1/, получаем ре­шение исходного нелинейного уравнения:

УПРАЖНЕНИЯ

Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных.

Найти частные решения уравнений первого порядка, удовле­творяющие указанным начальным условиям.

Найти общее решение линейных уравнений.

Решить уравнения Бернулли.

10.1. Основные понятия теории

Определение 1. Дифференциальным уравнением второго по­рядка называется уравнение вида

где х — независимая переменная, у — искомая функция, у' и у" — соответственно ее первая и вторая производные.

Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:

Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной:

Как и в случае уравнения первого порядка, решением урав­нения (10.1) называется функция у = φ(x), определенная на некотором интервале (а, b), которая обращает это уравнение в тождество. График решения называется интегральной кривой. Имеет место теорема существования и единственности реше­ния уравнения второго порядка.

ТЕОРЕМА 1 (теорема Коши). Пусть функция f(x, у, у') и ее частные производные и , непрерывны в некоторой обла­сти D пространства переменных (x, у, у'). Тогда для любой внутренней точки М0(х0, у0, у'0) этой области существует единственное решение уравнения (10.2), удовлетворяющее ус­ловиям:

Геометрический смысл этой теоремы (ее доказательство мы не приводим) заключается в том, что через заданную точку (x0, y0) на координатной плоскости Оху проходит единствен­ная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом y0' касательной (рис. 10.1).

Условия (10.3) называются начальными условиями, а зада­чу отыскания решения уравнения (10.2) по заданным началь­ным условиям называют задачей Коши.

Общим решением уравнения (10.2) в некоторой области D называется функция у = φ(х, С1, С2), если она является реше­нием этого уравнения при любых постоянных величинах С1 и C2, которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (10.3). Частным решением уравнения (10.2) называется общее решение этого уравнения при фиксированных значениях постоянных С1 и C2: у = φ(х, С10, С20).

Рассмотрим для пояснения уравнение у" = 0. Его общее решение получается при двухкратном интегрировании этого уравнения:

где С1 и C2 — произвольные постоянные. Это решение пред ставляет собой семейство прямых, проходящих в произвольных направлениях, причем через каждую точку плоскости Охy проходит бесконечное число таких прямых. Поэтому для выделения частного решения, проходящего через заданную точку (х0, y0), следует задать еще и угловой коэффициент прямой, совпадающей в данном случае со своей касательной. Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

т. е. нужно найти прямую, проходящую через точку M (l, 2), с угловым коэффициентом, равным единице. Подстановка на­чальных условий в общее решение уравнения приводит к сис­теме двух линейных уравнений относительно постоянных С1 и C2

откуда С1 = 1, C2 = 1. Таким образом, искомое частное реше­ние — это прямая у = х + 1.

10.2. Уравнения, допускающие понижение порядка

Существуют три вида уравнения (10.2), которые при помо­щи замены переменной (искомой функции) сводятся к уравне­ниям первого порядка.

1. Уравнение вида

Введем новую функцию z(x) путем замены z(x) = у'. Тогда исходное уравнение второго порядка преобразуется в неполное уравнение первого порядка: z' = f(x), решением которого яв­ляется функция z(х) = f(x) dx + С1. Поскольку z(x) = у', то повторным интегрированием находим общее решение уравне­ния (10.4):

где С1 и С2 — произвольные постоянные.

2. Уравнение вида

т. е. уравнение не содержит в явном виде у. Как и в преды­дущем случае, положим z(x) = у'. Тогда получаем уравнение первого порядка общего вида z' = f(x, z). Найдя общее реше­ние этого уравнения z = φ(x, C1), повторным интегрированием получим искомое общее решение уравнения (10.5):

где С1 и С2 — произвольные постоянные.

3. Уравнение вида

т. е. уравнение не содержит независимой переменной x. Здесь мы вводим новую функцию, зависящую от у, полагая z(y) = у'. Тогда, поскольку по правилу дифференцирования сложной функции

то уравнение (10.6) преобразуется в дифференциальное урав­нение первого порядка относительно функции z(y):

Пусть общее решение этого уравнения z = φ(у, С1). Тогда об­ратной заменой получаем неполное уравнение первого порядка относительно функции у(х)

из которого методом разделения переменных получаем функ­циональное соотношение для определения общего решения уравнения (10.6):

где С1 и C2 — произвольные постоянные.

Рассмотрим два примера решения дифференциальных уравнений второго порядка.

Решение. Это уравнение вида (10.5), поскольку оно не со­держит в явном виде у. Заменой z(x) = у' приведем его к уравнению первого порядка = -xz2, откуда имеем z = , или у' = . Интегрируя это уравнение, получаем общее решение исходного уравнения: