Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 6 )

3. Разрыв второго рода. Точка а называется точкой раз­рыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних преде­лов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Пример 3. Для функции f(x) = 1/x точка х = 0 является точ­кой разрыва 2-го рода, поскольку .

Пример 4. Для функции f(x) = sin (l/x) точка х = 0 явля­ется точкой разрыва 2-го рода, так как ни левого, ни правого предела функции в этой точке не существует.

Пример 5. Рассмотрим функцию f(x) = е1/x = ехр (рис. 3.8). Точка х = 0 является точкой разрыва 2-го рода для этой функции, так как предел слева равен нулю, а предел справа бесконечен:

Рис. 3.8

3.8. Понятие сложной функции

Определение. Если на некотором промежутке Х определена функция z = φ(x) с множеством значений Z и на множестве Z определена функция у = f(z), то функция у = f[φ(x)] называ­ется сложной функцией от x (или суперпозицией функций), а переменная z — промежуточной переменной сложной функции.

Приведем примеры сложных функций.

Пример 1. у = cos —сложная функция, определенная на полубесконечном интервале (—,1], так как у = f(z) = cos z, z = φ(x) = .

Пример 2. у = — сложная функция, определенная на всей числовой прямой, поскольку у = f(z) = еz , z = φ(x) = —х2.

Пример 3. у = — сложная функция, определенная на полубесконечных интервалах (-,0) и (0, + ), так как y = f(z) = z3/2, z = φ(x) = (1 + x) / x.

ТЕОРЕМА 8. Пусть функция z = φ(x) непрерывна в точке x0, а функция у = f(z) непрерывна в точке z0 = φ(x0). Тогда сложная функция у = f[φ{x)] непрерывна в точке x0 = 0.

Пример 4. Функция y = tg (x2 + 2x) непрерывна в точке x = 0, так как функция z = х2 + х непрерывна в точке х = 0, а функ­ция у = tg z непрерывна в точке z = 0.

3.9. Элементы аналитической геометрии на плоскости

Уравнение линии на плоскости

Пусть на плоскости задана система координат. Рассмот­рим уравнение вида

Говорят, что уравнение (3.9) определяет (задает) линию L в системе координат Оху. Вообще говоря, линии на координат­ной плоскости могут быть самыми различными.

Линии первого порядка

К линиям первого порядка относятся те линии, для кото­рых задающее их уравнение (3.9) содержит переменные x и у только в первой степени. Иными словами, такие линии описы­ваются уравнениями вида

где А, В и С — постоянные числа. Из этого уравнения можно выразить переменную у как функцию от аргумента х при В ≠ 0:

Уравнение (3.11) называют уравнением прямой с угловым ко­эффициентом k = tg φ, где φ — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох (рис. 3.9). Если k = 0, то прямая параллельна оси Ох и отстоит от нее на b масштабных единиц.

Рис. 3.9

Определим самые необходимые элементы знания о прямых на плоскости.

1. Кроме "классического" уравнения прямой (3.11) следует знать еще две его разновидности. Первая из них — это уравне­ние прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящей через заданную точку М0(x0, у0):

Другой вид — это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости M1(x1, y1) и М2(х2, у2):

2. Угол между прямыми. Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями у = k1x + b1 и у = k2x + b2, где k1 = tg φ1 и k2 = tg φ2 (рис. 3.10). Пусть φ — угол между этими прямы­ми. Тогда φ = φ2 — φ1 и мы получаем tg φ = tg (φ2 — φ1) = или, что то же самое,

Рис. 3.10

Формула (3.12) определяет один из углов между пересекающи­мися прямыми; второй угол равен π - φ.

Из равенства (3.12) вытекают условия параллельности и перпендикулярности прямых. В самом деле, если прямые па­раллельны, то

Если прямые перпендикулярны, то α2 = π/2 + α1, откуда tg α2 = -ctg α1 = -1 / tg α1, или окончательно

Пример 1. Найти угол между прямыми, заданными уравне­ниями у = 2x - 5 и у = -3x + 4.

Решение. Подставляя в формулу (3.12) значения k1 = 2 и k2 = -3, имеем

откуда получаем, что один из углов равен φ = π / 4.

3. Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая за­дана уравнением общего вида (3.10). Тогда расстояние d от произвольной точки М0(x0, y0) до прямой (рис. 3.11) дается формулой

Рис. 3.11

Линии второго порядка

Рассмотрим здесь три наиболее используемыx вида линий: эллипс, гиперболу и параболу.

1. Эллипс. Линия, для всех точек которой сумма рассто­яний от двух данных точек, называемых фокусами, есть вели­чина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами, называется эллипсом.

Согласно определению эллипса, сумма расстояний от произвольной точки М на этой линии до его фокусов F1 и F2 по­стоянна (рис. 3.12):

Рис. 3.12

Отсюда можно вывести уравнение эллипса в его основной (канонической) форме:

где а и b — полуоси эллипса, b2 = а2 — с2, точка O (0,0) — центр эллипса, с — половина расстояния между фокусами эл­липса. Из уравнения (3.13) следует, что оси эллипса являются его осями симметрии, а точка их пересечения — центром его симметрии.

В частном случае, когда a = b, фокусы эллипса сливаются, т. е. с = 0, и мы имеем окружность радиуса а с центром в начале координат. Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутости, является эксцентриситет — величина, определяемая отношением

2. Гипербола. Гиперболой называется линия, для всех то­чек которой модуль разности расстояний от двух данных то­чек, называемых фокусами, есть величина постоянная и мень­шая, чем расстояние между фокусами.

На рис. 3.13 показаны все основные элементы гиперболы. Разность расстояний от произвольной точки М на гиперболе до фокусов F1 и F2, согласно определению, есть величина по­стоянная:

Из этой основной предпосылки выводится каноническое урав­нение гиперболы, которое имеет вид

где b2 = с2 — а2.

Нетрудно видеть, что прямые у = ±х являются наклонными асимптотами гиперболы. Линия (3.14) имеет две оси сим­метрии, точка пересечения которых является центром симмет­рии гиперболы.

3. Парабола. Параболой называется линия, все точки ко­торой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой дирек­трисой и не проходящей через фокус.

Согласно определению, точка М(х, у) лежит на параболе, если r1 = r2. Отсюда и выводится каноническое уравнение параболы, которое имеет вид

График параболы (3.15) показан на рис. 3.14. Нетрудно видеть, что перемена осей координат приводит к более привычному уравнению параболы вида у = Ах2, где А — постоянное число.

Рис. 3.14

УПРАЖНЕНИЯ

Найти области определения функций, заданных следующими формулами.

3.1. у = 3x - 2. 3.2. у = х2 – 5x + 6. 3.3. . 3.4. . 3.5. . 3.6. . 3.7. . 3.8. . 3.9. . 3.10. . 3.11. . 3.12. . 3.13. . 3.14. .

3.15. f(x) = x2 + x – 2, найти f(0), f(1), f(-3). 3.16. f(x) = arccos (lg x), найти f(1/10), f(1), f(10). 3.17. .

3.18. Спрос и предложение на некоторый товар на рынке опи­сываются линейными зависимостями вида

1) Определить равновесную цену; 2) установить графичес­ким способом, является ли модель паутинного рынка "скручи­вающейся". Варианты задания параметров зависимостей спро­са и предложения:

а) а = 19, b = 2, с = 3, d = 2; б) а = 15, b = 3, с = 1, d = 4; в) а = 11, b = 3, с = 3, d = 1; г) а = 23, b = 3, с = 5, d = 6.

Найти пределы.

3.19. . 3.20. . 3.21. . 3.22. . 3.23. . 3.24. . 3.25. . 3.26. . 3.27. . 3.28. . 3.29. . 3.30. . 3.31. . 3.32. . 3.33. .