Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 26 )

Например, если при стрельбе по мишени попадание — это событие А, то событие — это промах; сумма их вероятностей равна единице — при выстреле обязательно будет либо попа­дание, либо промах. То же самое и при подбрасывании монеты: обязательно выпадет либо орел, либо решка.

Пример 3. В магазине имеется 10 телевизоров, из которых 2 неисправных. Найти вероятность того, что среди наугад взя­тых 3-х телевизоров будет хотя бы один неисправный.

Решение. События "среди взятых телевизоров нет ни од­ного неисправного" и "есть хотя бы один неисправный" — про­тивоположные. Первое из них обозначим через А, а второе — через . Общее число способов, которыми можно взять 3 изде­лия из десяти, равно C. Число исправных телевизоров равно 8, число способов выборки из них трех изделий равно C, так что вероятность Р(А) = C/С. Искомая вероятность опреде­ляется из формулы (17.4):

17.3. Теорема умножения вероятностей

Произведение событий и условная вероятность

Определение 1. Произведением двух событий А и В называ­ется событие АВ, означающее совместное появление этих со­бытий (см. гл. 1.1, произведение множеств).

Например, если событие А — шар, событие В — белый цвет, то их произведение АВ — белый шар. Аналогично опре­деляется произведение нескольких событий, как совместное по­явление их всех.

Если при вычислении вероятности события никаких дру­гих ограничений кроме необходимого комплекса условий S не налагается, то такая вероятность называется безусловной. Ес­ли же налагаются другие дополнительные условия, содержа­щие случайные события, то вероятность такого события назы­вается условной.

Определение 2. Вероятность события В в предположении о наличии события А называют условной вероятностью РA(В).

Пример 1. В ящике лежит 11 деталей, 3 из них нестандарт­ные. Из ящика дважды берут по одной детали, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что во второй раз из ящика будет извлечена стандартная деталь — событие В, если в пер­вый раз была извлечена нестандартная деталь — событие А.

Решение. После первого извлечения в ящике из 10 дета­лей осталось 8 стандартных, и, следовательно, искомая веро­ятность

Пусть теперь известны вероятность Р(А) события А и условная вероятность РА(В) события В. Тогда справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3. Вероятность произведения двух событий определяется формулой

Пример 2. В условиях примера 1 найти вероятности того, что в первый раз извлечена нестандартная деталь, а во второй раз — стандартная, и наоборот.

Решение. Итак, событие А — это извлечение из ящика не­стандартной детали, а событие В — стандартной. Тогда воз­можны два случая. 1) Вероятность Р(А) = 3/11, а условная вероятность РA(В) = 0,8. Искомая вероятность произведения этих событий (их совместного появления в указанном порядке) равна, согласно теореме 17.3,

2) Вероятность Р(В) = 8/11, а условная вероятность РB(А) = 0,3. Мы видим, что и в этом случае вероятность произведе­ния событий Р(ВА) = Р(В)РB(А) ≈ 0,22.

В этом примере мы проверили известное в теории равен­ство

Теорема 17.3 допускает обобщение на случай произведения любого числа событий A1, А2, А3, ..., An:

т. е. вероятность совместного появления п событий равна про­изведению п вероятностей, где PA1A2...Ak-1(Ak) — условные ве­роятности событий Ak в предположении, что события A1A2 ... Ak-1 уже произошли (k = 1, 2, ... , п).

Пример 3. В урне находится 4 белых шара, 5 красных и 3 синих. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар (событие А), во второй раз — красный (событие В), в третий — синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом извлечении Р(А) = 1/3; условная вероятность появления крас­ного шара во втором извлечении при условии появления в пер­вый раз белого шара РA(В) = 5/11; условная вероятность по­явления синего шара в третьем извлечении при условиях по­явления в предыдущих извлечениях белого и красного шаров РAB(С) = 0,3. Искомая вероятность определяется по формуле (17.6) при п = 3:

Независимые события

Определение 3. Событие В называется независимым от со­бытия А, если условная вероятность события В равна его без­условной вероятности (появление события А не влияет на ве­роятность события В):

Отсюда следует, что и событие А также независимо от со­бытия В:

Для независимых событий теорема умножения вероятностей 17.3 в общей форме, которая следует из (17.6), имеет вид

Равенство (17.7) принимается за определение независимых со­бытий. При этом если события независимы, то независимы также и соответствующие им противоположные события.

Пример 4. Найти вероятность поражения цели при совмест­ной стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели орудиями соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7 (события А, B и С).

Решение. Поскольку события А, В и С являются независимыми, то искомая вероятность вычисляется, согласно формуле (17.7), при n = 3:

Когда в результате испытания может иметь место n неза­висимых событий с известными вероятностями их появления, особый интерес представляет случай нахождения вероятнос­ти наступления хотя бы одного из них (например, в случае трех событий найти вероятность наступления либо одного, ли­бо двух, либо трех событий). Обозначим это событие через А. Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 4. Вероятность появления хотя бы одного из не­зависимых событий А1, A2, ... , Аn определяется формулой

где qi = 1 — pi — вероятности соответствующих противо­положных событий i (i = 1, 2,... , n).

В частном случае, когда все события Аi имеют одинаковую вероятность р, из формулы (17.8) следует, что

Пример 5. В условиях примера 4 найти вероятность пораже­ния цели (хотя бы одного попадания) при залповой стрельбе орудий.

Решение. Вероятности противоположных событий (про­махов) соответственно равны q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3. Иско­мая вероятность находится по формуле (17.8) при п = 3:

Из этого примера наглядно видно преимущество совместного воздействия случайных событий с целью достижения общего результата.

Пример 6. На перевозку груза направлены 4 автомобиля. Ве­роятность нахождения каждой из машин в исправном состоя­нии равна 0,8. Найти вероятность того, что в работе участвует хотя бы один из выделенных для этого автомобилей.

Решение. Вероятность противоположного события (маши­на неисправна) равна q = 1 - 0,8 = 0,2. По формуле (17.9) находим искомую вероятность при n = 4:

Пример 7. Вероятность обслуживания клиента одним опера­ционистом в банке равна 0,6. Какое минимальное число опе­рационистов должно работать в банке, чтобы вероятность об­служивания клиента была не менее 0,95?

Решение. Вероятность противоположного события (отказ в обслуживании клиента операционистом) равна 0,4. Пусть n — количество операционистов, удовлетворяющее условию за­дачи, т. е.

Решая это неравенство, получаем

Логарифмирование обеих частей этого неравенства дает

Поскольку n должно быть целым числом, окончательно получаем, что в банке должны работать не менее 4 операцио­нистов.

17.4. Обобщения теорем сложения и умножения

Появление только одного из независимых событий

Рассмотрим примеры совместного применения теорем сло­жения и умножения. Пусть два независимых события А1 и А2 имеют вероятности появления соответственно p1 и р2. Найдем вероятность появления только одного из этих событий. Для этого введем новые события: В1 и B2. Событие В1 состоит в том, что событие А1 наступило, а событие А2 не наступило; иными словами, В1 = A12. Аналогичным образом определя­ется и событие B2 = 1A2 (совместное ненаступление события A1 и наступление события А2). Поскольку события А1 и A2 независимы, то независимы также и противоположные coбытия 1 и 2; тогда события В1 и В2 являются несовместными. Вероятность наступления только одного из событий А1 и А2 находится как сумма вероятностей несовместных событий В1 и B2:

где q1 = 1 – p1 , q2 = 1 - р2.

Аналогичным образом можно убедиться в справедливости формулы вероятности наступления только одного из трех не­зависимых событий A1, А2, А3 с вероятностями наступления соответственно р1, р2 и р3:

где Bi — произведения наступившего события Аi и двух дру­гих ненаступивших событий (i = 1, 2, 3). Для случая п неза­висимых событий формула вероятности наступления только одного из них имеет аналогичный вид — сумма п слагаемых, каждый член которой представляет собой произведение вероятности наступления одного из событий на вероятности (n - 1) других противоположных событий.

Пример 1. Предприниматель решил вложить свои средства поровну в два контракта, каждый из которых принесет ему прибыль в размере 100%. Вероятность того, что любой из кон­трактов не "лопнет", равна 0,8. Какова вероятность того, что по истечении контрактов предприниматель по меньшей мере ничего не потеряет?

Решение. Предприниматель по крайней мере ничего не по­теряет, если либо не "лопнет" один из контрактов (другой воз­местит ему потери), либо будут выполнены оба контракта. Пусть события А1 и А2 — это выполнение соответствующих контрактов (вероятность р = 0,8); эти события являются независимыми. Противоположные им события 1 и 2 — не­выполнение контрактов (вероятность q = 0,2). Тогда собы­тия В1 = А12, В2 = 1A2 и A1A2 являются несовместны­ми (последнее событие — это выполнение обоих контрактов). Искомая вероятность определяется с учетом формул (17.10) и (17.7):

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Определение 1. События А и В называют совместными, ес­ли в одном и том же испытании появление одного из них не исключает появления другого.

Для таких событий справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 5. Вероятность суммы совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произве­дения:

Из формулы (17.12) получается ряд следующих частных случаев.

1. Для независимых событий с учетом формулы (17.7)

2. Для зависимых событий с учетом формулы (17.5)

3. Для несовместных событий Р(АВ) = 0, и в этом случае имеем подтверждение теоремы 17.1 и формулы (17.3):

Пример 2. Вероятности поражения цели первым и вторым стрелками равны соответственно 0,8 и 0,9. Найти вероятность поражения цели при залпе.

Решение. Поскольку вероятности поражения цели стрел­ками (события А и В соответственно) не зависят от результатов стрельбы каждого из напарников, то эти события не­зависимы. Искомая вероятность рассчитывается по формуле (17.13):

Аналогичный результат можно было бы получить и с при­менением формулы (17.8). Пусть событие А — поражение цели, и — события, соответствующие промахам стрелков, тогда

Формула полной вероятности

Пусть события В1, В2, …, Вп несовместны и образуют пол­ную группу, т. е., согласно теореме 17.2, выполняется ра­венство

Пусть также событие А может наступить при условии появле­ния одного из событий Вi, причем известны как вероятности P(Bi), так и условные вероятности PBi(A) (i = 1, 2, ... , п). В таком случае формула для вероятности события А определя­ется следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 6. Вероятность события А, появление которо­го возможно лишь при наступлении одного из несовместных событий Bi, образующих полную группу (i = 1, 2, ... ,п), рав­на сумме попарных произведений каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность появления со­бытия А:

Пример 3. В двух урнах находятся белые и красные шары: в первой — 4 белых и 5 красных, во второй — 7 белых и 3 красных. Из второй урны наудачу взяли шар и переложили его в первую урну. Найти вероятность того, что наудачу взятый после этого из первой урны шар будет белым.

Решение. Перекладывание из второй урны в первую бело­го шара (событие В1) и красного шара (событие В2) образует полную группу независимых событий. Их вероятности соот­ветственно P(B1) = 0,7 и Р(В2) = 0,3. Условные вероятнос­ти извлечения из первой урны белого шара (событие А) при добавлении туда белого или красного шара из второй урны соответственно равны РB1(А) = 0,5 и РB2(А) = 0,4. Искомая вероятность находится по формуле (17.14) при п = 2:

Пример 4. В двух ящиках находятся детали: в первом — 10 штук и из них 3 нестандартные, а во втором — 20 штук и из них 8 нестандартных. Из каждого ящика наудачу вынуто по одной детали, а потом из этих двух деталей наудачу взята одна. Найти вероятность того, что эта деталь окажется стандартной.

Решение. При первой выборке двух деталей возможны четыре случая, которые образуют полную группу независи­мых событий. События Bss, Bsn, Bns, Bnn соответствуют случаям изъятия: из первого и второго ящиков по стандарт­ной детали, из первого ящика — стандартной и из второ­го — нестандартной деталей, из первого ящика — нестан­дартной и из второго — стандартной, из первого и второго ящиков по нестандартной детали. В свою очередь события Вik (i, k = s, n) представляют собой произведения независимых событий — изъятия из каждого ящика по детали, и потому их вероятности равны соответствующим произведениям веро­ятностей этих изъятий: P(Bss) = 0,7 • 0,6 = 0,42; P(Bsn) = 0,7 • 0,4 = 0,28; P(Bns) = 0,3 • 0,6 = 0,18; P(Bnn) = 0,3 • 0,4 = 0,12. Условные вероятности выборки из двух деталей стан­дартной, согласно перечисленным выше возможным случаям, равны:

Теперь, согласно теореме 17.6 и формуле (17.14), получаем ис­комую вероятность события А:

Формулы Байеса

Пусть события B1, B2, ..., Вп несовместны и образуют пол­ную группу, а событие А может наступить при условии появле­ния одного из них. События Bi называют гипотезами, так как заранее неизвестно, какое из них наступит. Пусть произведено испытание и в результате появилось событие А. Тогда оказывается возможным определить условные вероятности гипотез Bi по следующим формулам:

Формулы (17.15) называются формулами Байеса, по имени их автора. Они позволяют оценить вероятность гипотезы Вi во всех испытаниях, где наступает событие А. Иными слова­ми, зная вероятность Р(Вi) до проведения испытания, мы мо­жем переоценить ее после проведения испытания, в результате которого появилось событие А.

Пример 5. Вероятность изготовления изделия с браком равна 0,08. После изготовления все изделия подвергаются проверке, в результате которой изделия без брака признаются годными с вероятностью 0,95, а изделия с браком — с вероятностью 0,06. Найти долю изделий, выпущенных после проверки, а так­же вероятность того, что выпущенное после проверки изделие окажется без брака.