Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 24 )

Обратный ход метода Гаусса дает значения базисных неиз­вестных, выраженные через свободные переменные:

Поскольку ранг однородной системы равен трем, то ФСР для нее состоит из трех линейно независимых векторов. По фор­мулам (15.16) при п = 6 и r = 3, беря последовательно для свободных переменных тройки чисел (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1), получаем набор фундаментальных решений:

Характеристическое уравнение

В п. 13.1 было введено определение собственного значения и гобственного вектора матрицы. Пусть — собственный вектор квадратной матрицы А порядка n. Тогда имеет место матричное уравнение

или

где λ — собственное значение матрицы А, а E и — соответ­ственно единичная матрица и нулевой вектор-столбец. Урав­нение (15.17) эквивалентно системе однородных уравнений

В уравнениях (15.18) aij — элементы матрицы А, xj — коорди­наты собственного вектора х. Поскольку собственный вектор не является нулевым, то однородная система (15.18) должна иметь ненулевое решение, т. е. в силу следствия 2 (см. выше) определитель этой системы равен нулю:

Определитель системы однородных уравнений (15.18) называ­ется характеристическим многочленом, а уравнение (15.19) — характеристическим уравнением матрицы А.

Уравнение (15.19) имеет степень n относительно неизвест­ной λ. Его корни являются собственными числами матрицы А. Определив набор этих чисел, для каждого из них можно найти соответствующий собственный вектор как решение однород­ной системы (15.18).

Пример 2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение. Характеристическое уравнение для этой матри­цы имеет вид

откуда, раскрывая определитель, получаем

Корни этого уравнения суть λ1 = 2, λ2 = 5. Для нахождения собственных векторов подставим найденные собственные зна­чения в систему однородных уравнений (15.18) при n = 2 с со­ответствующими элементами заданной матрицы А. Собствен­ный вектор, соответствующий собственному значению λ1 = 2, является решением системы

Пo сути дела, это одно уравнение, поскольку определитель сис­темы равен нулю. Полагая x2 = b свободной переменной, по­лучаем первый собственный вектор 1 = (—2b, b) = b (-2, 1). Подстановка второго собственного значения λ2 = 5 приводит к системе уравнений

которая через свободную переменную x2 = с определяет второй собственный вектор матрицы А: 2 = (с, с) = с (1, 1).

Поскольку b и с — произвольные числа, то одному соб­ственному значению может соответствовать несколько собст­венных векторов разной длины. Например, собственные векто­ры, соответствующие фундаментальным решениям однород­ных систем (в данном случае их будет по одному на каждое собственное значение), имеют вид 1 = (-2, 1), 2 = (1, 1).

УПРАЖНЕНИЯ

Решить методом Крамера системы линейных уравнений.

Решить системы линейных уравнений методом Гаусса.

Решить методом обратной матрицы системы уравнений, пред­варительно вычислив методом Гаусса обратную матрицу.

Найти фундаментальные системы решений однородных сис­тем.

Найти собственные векторы и собственные значения матриц.

16.1. Использование алгебры матриц

Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно этот вопрос стал актуальным при разработке и ис­пользовании баз данных: при работе с ними почти вся инфор­мация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Матричные вычисления

Рассмотрим типичные задачи, использующие понятие век­тора и его свойства.

1. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изде­лий, основные производственно-экономические показатели ко­торых приведены в табл. 16.1.

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продуции предприятия.

Решение. По данным табл. 16.1 составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

= (20, 50, 30,40) — вектор ассортимента,

= (5, 2, 7, 4) — вектор расхода сырья,

= (10, 5, 15, 8) — вектор затраты рабочего времени,

= (30, 15, 45, 20) — ценовой вектор.

Тогда искомые величины будут представлять собой соот­ветствующие скалярные произведения вектора ассортимента на три других вектора, т. е.

2. Предприятие выпускает 4 вида изделий с использовани­ем 4-х видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

Требуется найти затраты сырья на каждый вид изделия при заданном плане их выпуска: соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение. Составим вектор-план выпуска продукции

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду; этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора на матрицу А:

3. Пусть затраты 4-х видов сырья на выпуск 4-х видов про­дукции характеризуются матрицей А, приведенной в предыду­щей задаче. Требуется найти: а) общие затраты на сырье для каждого вида продукции и его перевозку; б) общие затраты на сырье и его транспортировку при условии заданного вектора-плана предыдущей задачи, если известны себестоимости каж­дого вида сырья и его доставки (соответственно 4, 6, 5, 8 и 2, 1, 3, 2 ден. ед.).

Решение. Составим матрицу себестоимостей сырья и его доставки (соответственно 1-я и 2-я строки):

Тогда ответ на первый вопрос задачи дается в виде произве­дения матрицы А на транспонированную матрицу CT:

Суммарные затраты на сырье и его доставку (в денежных еди­ницах) при векторе-плане выпуска продукции = (60, 50, 35, 40) определяются произведением вектора на матрицу АСT:

4. В табл. 16.2 приведены данные о дневной производительности 5 предприятий, выпускающих 4 вида продукции с по­треблением 3-х видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия в году и цена каждого вида сырья.

Требуется определить:

1) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий;

2) годовую потребность каждого предприятия по каждому виду сырья;

3) годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указан­ных видов и количеств.

Решение. Нужно составить матрицы, характеризующие весь интересующий нас экономический спектр производства, а затем при помощи соответствующих операций над ними полу­чить решение данной задачи. Прежде всего приведем матрицу производительности предприятий по всем видам продукции:

Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной про­изводительности отдельного предприятия по каждому виду продукции. Следовательно, годовая производительность j-го предприятия по каждому виду продукции получается умноже­нием j-гo столбца матрицы А на количество рабочих дней в году для этого предприятия (j = 1, 2, 3, 4, 5). Таким образом, годовая производительность каждого предприятия по каждому из изделий описывается матрицей

Матрица затрат сырья на единицу изделия (эти показатели по условию одинаковы для всех предприятий) имеет вид

Дневной расход по типам сырья на предприятиях описывается произведением матрицы В на матрицу А:

где i-я строка соответствует номеру типа сырья, а j-й стол­бец — номеру предприятия согласно табл. 16.2 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4, 5). Ответ на второй вопрос задачи получим по аналогии с матрицей Агод умножением столбцов матрицы ВА на соответствующие количества рабочих дней в году для предприятий — это годовая потребность каждого предприятия в каждом виде сырья:

Введем вектор стоимости сырья

Тогда стоимость общего годового запаса сырья для каждого предприятия получается умножением вектора на матри­цу ВAгод:

Следовательно, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими компонентами векто­ра .

5. Отрасль состоит из п предприятий, выпускающих по од­ному виду продуции каждое; обозначим объем продукции i-го предприятия через xi. Каждое из предприятий отрасли для обеспечения своего производства потребляет часть продукции, выпускаемой им самим и другими предприятиями. Например, в отрасли электротехнического оборудования часть продукции предприятий, выпускающих электродвигатели, силовые кабе­ли, электрокары и т. д., употребляется практически всей от­раслью. Пусть aij — доля продукции i-го предприятия, потреб­ляемая j-м предприятием для обеспечения выпуска своей про­дукции объема xj. Возникает естественный вопрос о величине yi — количестве продукции i-го предприятия, предназначенной для реализации вне данной отрасли (объем конечного продук­та). Эта величина легко может быть подсчитана по формуле

Введем в рассмотрение матрицу порядка n, описывающую вну­треннее потребление отрасли:

Тогда вектор конечного продукта является решением матрич­ного уравнения

или с использованием единичной матрицы Е получаем

Рассмотрим конкретный пример при п = 3. Пусть вектор выпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребле­ния имеют соответственно вид

Используя формулу (16.1) и правило сложения матриц, получа­ем вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли, состоящей из 3-х предприятий:

Использование систем линейных уравнений

Рассмотрим задачи, приводящие к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений.

6. Прогноз выпуска продукции по запасам сырья. Пред­приятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех типов. Необходимые характеристики производства указаны в табл. 16.3. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. Задачи такого рода типичны для прогнозов и оценок функционирования предприятий, экспертных оценок проектов освоения месторождений по­лезных ископаемых, а также для планирования микроэкономи­ки предприятий.

Решение. Обозначим неизвестные объемы выпуска про­дукции через x1, x2 и x3. Тогда при условии полного расхода запасов для каждого вида сырья можно записать балансовые соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции соста­вят по каждому виду соответственно (в условных единицах)

7. Общая постановка задачи прогноза выпуска продукции. Пусть

— матрица затрат сырья т видов при выпуске продукции п видов. Тогда при известных объемах запаса каждого вида сы­рья, которые образуют соответствующий вектор

вектор-план = (х1, х2, ... , xп) выпуска продукции определя­ется из решения системы т уравнений с n неизвестными

где индекс Т означает транспонирование вектора-строки в век­тор-столбец.

16.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Макроэкономика функционирования многоотраслевого хо­зяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каж­дая отрасль, с одной стороны, является призводителем, а с другой — потребителем продукции, выпускаемой другими от­раслями. Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции раз­ного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в 1936 г. в трудах известного амери­канского экономиста , который попытался про­анализировать причины экономической депрессии США гг. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.

Балансовые соотношения

Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой п отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения свое­го производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период времени; в ряде случаев такой единицей служит год.

Введем следующие обозначения:

— xi — общий объем продукции i-й отрасли (ее валовой выпуск);

— xij — объем продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью при производстве объема продукции xj;

— yi — объем продукции i-й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления. К нему относятся личное потребление граждан, удовлетво­рение общественных потребностей, содержание государ­ственных институтов и т. д.

Балансовый принцип связи различных отраслей промыш­ленности состоит в том, что валовой выпуск i-й отрасли дол­жен быть равным сумме объемов потребления в производст­венной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности, или простого сложения) балансовые со­отношения имеют вид

Уравнения (16.2) называются соотношениями баланса.

Поскольку продукция разных отраслей имеет разные изме­рения, будем в дальнейшем иметь в виду стоимостный баланс.

Линейная модель многоотраслевой экономики

на основании анализа экономики США и период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного времени величины aij = xij / xj меняются очень слабо и могут рассматриваться как постоян­ные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потреб­ления j-й отраслью продукции i-й отрасли при производстве своей продукции объема xj есть технологическая константа.

В силу указанного факта можно сделать следующее до­пущение: для производства продукции j-й отрасли объема xj нужно использовать продукцию i-й отрасли объема aijxi, где aij — постоянное число. При таком допущении технология про­изводства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. При этом числа аij называются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линей­ности, имеем

Тогда уравнения (16.2) можно переписать в виде системы урав­нений

Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произве­денной продукции (вектор валового выпуска), объемов продук­ции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:

Тогда система уравнений (16.4) в матричной форме имеет вид

Обычно это соотношение называют уравнением линейно­го межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления (16.5) это уравнение носит название модели Леонтьева.

Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом, наиболее простом случае, когда извес­тен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления — подобная задача была рассмотрена выше (п. 16.1, пример 5).

Во втором случае уравнение межотраслевого баланса ис­пользуется для целей планирования со следующей формули­ровкой задачи: для периода времени T (например, год) извес­тен вектор конечного потребления и требуется определить вектор валового выпуска. Здесь необходимо решать систему линейных уравнений (16.6) с известной матрицей А и задан­ным вектором . В дальнейшем мы будем иметь дело именно с такой задачей.

Между тем система (16.6) имеет ряд особенностей, вытека­ющих из прикладного характера данной задачи; прежде всего все элементы матрицы А и векторов и должны быть неот­рицательными.