Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 21 )

УПРАЖНЕНИЯ

12.1. Найти линейную комбинацию векторов 3 + 4 - , где = (4, 1, 3, -2), = (1, 2, -2, 3), = (10, 8, 1, -3).

12.2. Найти линейную комбинацию векторов

где , , — векторы, указанные в предыдущей задаче.

12.3. Для векторов = (2, 4, -3, 0) и = (-1, 2, 2, -5) найти их длину и угол между ними.

12.4. Вычислить ( - )2 , если |а| = 2, |b| = 4, угол между векторами φ = 135°.

12.5. Найти координаты вектора = (2, -4, 3, 5) в ортогональ­ном базисе, состоящем из векторов

13.1. Матрицы и операции над ними

Понятие матрицы

Определение 1. Прямоугольная таблица чисел вида

называется матрицей. Здесь aij — действительные числа (i = 1, 2,..., m, j = 1, 2, ..., n), называемые элементами матрицы, i и j — соответственно индексы строки и столбца. При этом произведение m х n числа строк на число столбцов называют размером матрицы А. Часто матрицу (13.1) запи­сывают в сокращенном виде:

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

В том случае, когда m = n (число строк равно числу столб­цов):

матрица А называется квадратной.

Упорядоченная совокупность элементов a11, a22,. …, апп на­зывается главной диагональю квадратной матрицы. Квадрат­ная матрица называется диагональной, если ее элементы удов­летворяют условию

т. е. ненулевыми могут быть только элементы главной диагонали; матрица в этом случае имеет вид

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице:

Определение 2. Две матрицы А и В называются равными (А = В), если они имеют одинаковые размеры и их соответ­ствующие элементы равны: aij = bij , i = 1, 2,..., m, j = 1, 2, .... n.

Линейные операции над матрицами

1. Сумма матриц. Суммой матриц А и В одинакового раз­мера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Представим это в сокращенной записи. Пусть

Тогда сумма этих матриц С = А + В имеет вид

Пример 1. Пусть даны матрицы А и В:

Тогда их суммой, согласно определению, является матрица

2. Умножение матрицы на действительное число. Произ­ведением матрицы А на действительное число α называется матрица, каждый элемент которой получен умножением соот­ветствующего элемента матрицы А на число α.

Пример 2. Пусть даны матрица А и число α:

Тогда произведением матрицы А на число является матрица

3. Приведем свойства операций суммирования матриц и произведения матрицы на число, непосредственно вытекающие из определения этих операций. Пусть А, В и С — матрицы, имеющие одинаковый размер, а α и β — некоторые действи­тельные числа. Тогда:

1) А + В = В + А,

2) (А + В) + С = А + (В + С),

3) α(А + В) =αА + αВ,

4) (α + β) A = αA + βA,

5) (αβ)А = (αA)β,

6) A + О = А, где О — нулевая матрица,

7) 0А = О.

Транспонирование матриц

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица А:

Тогда, согласно определению, транспонированная матрица А' имеет вид

Сокращенная форма записи операции транспонирования мат­рицы:

Пример 3. Пусть даны матрицы А и В:

Тогда соответствующие транспонированные матрицы имеют вид

Нетрудно заметить две закономерности операции транспо­нирования матриц.

1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:

2. При транспонировании квадратных матриц элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций, т. е. главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.

Важную роль в алгебре и ее приложениях играют симмет­рические матрицы — квадратные матрицы, у которых элемен­ты, симметричные относительно главной диагонали, равны, т. е. aij = aji. Транспонирование таких матриц не меняет их вида, так что равенство

также можно полагать определением симметрической мат­рицы.

Умножение матриц

1. Умножение матриц — это специфическая операция, со­ставляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы мат­риц можно рассматривать как векторы-строки и векторы-стол­бцы соответствующих размерностей: иными словами, любую матрицу можно интерпретировать как совокупность векторов-строк или векторов-столбцов.

Пусть даны матрица А размером т х п и матрица В разме­ром п х k. Будем рассматривать матрицу А как совокупность т векторов-строк i размерности п каждый, а матрицу В — как совокупность k векторов-столбцов j, каждый из которых содержит по п координат:

Векторы-строки матрицы А и векторы-столбцы матрицы В показаны в записи этих матриц (13.3). Длина строки матри­цы А равна высоте столбца матрицы В, и потому скалярное произведение этих векторов имеет смысл.

Определение 3. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой cij равны скалярным произве­дениям векторов-строк i матрицы А на векторы-столбцы j матрицы В:

Произведение матриц А и В — матрица С — имеет размер т х k, поскольку длина п векторов-строк и векторов-столбцов исчезает при суммировании произведений координат этих век­торов в их скалярных произведениях, как показано в формулах (13.4). Таким образом, для вычисления элементов первой строки матрицы С необходимо последовательно получить скаляр­ные произведения первой строки матрицы А на все столбцы матрицы В; вторая строка матрицы С получается как ска­лярные произведения второй вектор-строки матрицы А на все векторы-столбцы матрицы В и так далее. Для удобства за­поминания размера произведения матриц нужно перемножить отношения размеров матриц-сомножителей:, т. е. размер матрицы С равен произведению оставшихся в отношении чисел: т х k.

В операции умножения матриц есть характерная особен­ность: произведение матриц А и В имеет смысл, если число столбцов в А равно числу строк в В. Тогда если А и В — прямоугольные матрицы, то произведение В и А уже не будет иметь смысла, так как в скалярных произведениях, формиру­ющих элементы соответствующей матрицы, должны участво­вать векторы с одинаковым числом координат.

Если матрицы А и В квадратные размером n х n, то име­ет смысл как произведение матриц АВ, так и произведение матриц BA, причем размер этих матриц такой же, как и у ис­ходных сомножителей. При этом в общем случае перемноже­ния матриц правило перестановочности не соблюдается, т. е. АВ ≠ ВА.

Рассмотрим примеры на умножение матриц.

Решение. Поскольку число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведение матриц АВ имеет смысл. По формулам (13.4) получаем в произведении матрицу размером 3 х 2:

Произведение ВА не имеет смысла, так как число столбцов матрицы В не совпадает с числом строк матрицы А.

Решение. Здесь мы найдем произведения данных матриц АВ и ВА:

Как видно из результата, матрица произведения зависит от по­рядка расположения матриц в произведении. В обоих случаях произведения матриц имеют тот же размер, что и у исходных сомножителей: 2 х 2.

Решение. В данном случае матрица В представляет собой вектор-столбец, т. е. матрицу, у которой три строки и один столбец. Вообще, векторы — это частные случаи матриц: век­тор-строка длины п представляет собой матрицу с одной стро­кой и п столбцами, а вектор-столбец высоты n — матрицу с n строками и одним столбцом. Размеры данных матриц соот­ветственно 2 х 3 и 3 х 1, так что произведение этих матриц определено. Имеем

В произведении получена матрица размером 2 х 1 или вектор-столбец высоты 2.

Решение. Путем последовательного умножения матриц находим

2. Свойства произведения матриц. Пусть А, В и С — мат­рицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены), а α — действительное число. Тогда следу­ющие свойства произведения матриц имеют место:

1) (АВ)С = А(ВС),

2) (А + В)С = AC + ВС,

3) А(В + С) = АВ + АС,

4) α(АВ) = (αА)В = А(αВ).

В п. 1 этого раздела введено понятие единичной матрицы Е. Нетрудно убедиться, что в алгебре матриц она играет роль единицы, т. е. можно отметить еще два свойства, связанные с умножением на эту матрицу слева и справа в случае квадрат­ных матриц:

5) АЕ = А,

6) ЕА = А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единич­ную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную мат­рицу.

Собственные значения и собственные векторы матрицы

Будем рассматривать квадратные матрицы размером п х п, или, что то же самое, матрицы порядка п.

При умножении матрицы порядка п на n-мерный вектор в произведении получается n-мерный вектор:

Для любой матрицы может существовать набор особых векторов, таких, что произведение матрицы на вектор из та­кого набора равносильно умножению этого вектора на опреде­ленное вещественное число (вообще говоря разное для каждого вектора).

Определение 4. Число λ называется собственным значени­ем матрицы А порядка п, если существует такой ненулевой вектор Rn, что выполняется равенство

При этом вектор называется собственным вектором матрицы А, а λ — собственным значением матрицы А, соответствую­щим вектору .

Иными словами, умножение матрицы на ее собственный вектор равносильно удлинению этого вектора в |λ| раз, если |λ| > 1 (или сжатию при |λ| < 1). Если λ = 1, умножение мат­рицы на соответствующий собственный вектор не меняет его. Уравнение (13.5) представлено в матричной форме. Группируя все слагаемые этого уравнения в левой части, перепишем его в более удобном виде:

где Е и — соответственно единичная матрица и нулевой век­тор.

Если aij — элементы матрицы А, то характеристическая матрица А — λЕ, согласно определениям умножения матрицы на число и суммы матриц, имеет вид

Проблема отыскания собственных значений и собственных векторов матриц составляет основу специального раздела ал­гебры; в дальнейшем мы еще вернемся к этому вопросу. Здесь лишь отметим один важный результат алгебры матриц: для симметрических матриц (13.2) все п собственных значений яв­ляются действительными числами.

13.2. Обратная матрица

Ранг матрицы

Выше уже говорилось, что матрицы размера т х п можно рассматривать как системы, состоящие из m n-мерных векто­ров (или из п m-мерных векторов). Поскольку любая систе­ма векторов характеризуется рангом (п. 12.2), то естественно встает вопрос о такой же характеристике и для матриц. Так как здесь имеют место две совокупности векторов — векторы-строки и векторы-столбцы, то у матрицы, вообще говоря, два ранга — строчный и столбцовый. Ответ на вопрос об их рав­ноправии дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Строчный и столбцовый ранги любой матрицы равны.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Стало быть, ранг любой матрицы размера т х п можно ис­кать как ранг одной из двух систем векторов: либо т векторов-строк, либо п векторов-столбцов. Как следует из п. 12.2, для прямоугольной матрицы максимальный ранг r = min (m, n). Для квадратной матрицы размером п х n ее максимальный ранг не может превышать п: r ≤ п.

Понятие обратной матрицы

Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы, поэтому здесь и далее мы будем иметь дело с матрицами порядка п.

Определение 1. Матрица порядка п называется вырожден­ной, если ее ранг r < п.

Определение 2. Матрица А-1 называется обратной по отно­шению к матрице А, если их произведение равно единичной матрице:

Несколько забегая вперед, отметим, что для вырожденной матрицы не существует обратной матрицы. Иными словами, если для некоторой матрицы порядка п ее ранг r < п, то для нее не существует обратной матрицы.

УПРАЖНЕНИЯ

13.1. Найти матрицу С = 2А - В, где

13.2. Даны следующие матрицы:

Найти: а) все произведения матриц, которые имеют смысл; б) соответствующие транспонированные матрицы; в) матрицу 2G – С2, г) матрицу С3.

13.3. Дана матрица . Проверить непосредствен­ным вычислением, какие из данных ниже векторов являют­ся собственными векторами этой матрицы, и указать соответ­ствующие собственные значения:

14.1. Операции над определителями и основные свойства

Понятие определителя

Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соот­ветствие по определенному закону некоторое число, называе­мое определителем, или детерминантом, n-го порядка этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего поряд­ков.

Пусть дана матрица

тогда ее определитель второго порядка вычисляется по фор­муле

Правило вычисления определителя второго порядка очевидно: из произведения элементов на главной диагонали вычитает­ся произведение элементов на второй диагонали матрицы А. Нетрудно видеть, что формула (14.1) представляет собой ал­гебраическую сумму двух попарных произведений элементов матрицы А, стоящих в разных строках и разных столбцах.