Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 31 )

Пример 3. Построить эмпирическую функцию по заданному распределению выборки:

Решение. Находим объем выборки: п = 10 + 15 + 25 = 50. Наименьшая варианта равна 2, поэтому F*(x) = 0 при х ≤ 2. Значение Х < 4 (или x1 = 2) наблюдалось 10 раз, значит, F*(x) = 10/50 = 0,2 при 2 < х < 4. Значения X < 6 (а именно x1 = 2 и x2 = 4) наблюдались 10 + 15 = 25 раз, значит, при 4 < х < 6 функция F*(x) = 25/50 = 0,5. Поскольку x = 6 — максимальная варианта, то F*(x) = 1 при х > 6. Напишем формулу искомой эмпирической функции:

График этой функции показан на рис. 18.8.

Полигон и гистограмма

Каждую пару значений (xi, ni) из распределения выборки можно трактовать как точку на координатной плоскости. Точ­но так же можно рассматривать и пары значений (хi, Wi) отно­сительного распределения выборки. Ломаная, отрезки которой соединяют точки (xi, ni), называется полигоном частот. Ло­маная, соединяющая на координатной плоскости точки (xi, Wi), называется полигоном относительных частот. На рис. 18.9 показан полигон относительных частот для распределения, приведенного в примере 2.

Для случая непрерывного признака Х удобно разбить ин­тервал (xmin, xmax) его наблюдаемых значений на несколько частичных интервалов длиной h каждый и найти для каждого из этих интервалов сумму частот nj, попавших в него. Ступен­чатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями длиной h и высотами nj/h (плотность частоты), называется гистограммой частот. Геометрический смысл гистограммы: нетрудно видеть, что площадь ее равна сумме всех частот или объему выборки. На рис. 18.10 изображена гистограмма объ­ема n = 100.

Аналогичным образом определяется и гистограмма от­носительных частот: в этом случае высоты прямоугольни­ков, составляющих ступенчатую фигуру, определяются отно­шениями сумм относительных частот, попадающих в интервал (xmin + (j — 1)h, xmin + jh), к длине интервала h, т. е. величина­ми Wj/h. Нетрудно видеть, что площадь гистограммы относи­тельных частот равна единице (сумме относительных частот выборки).

Статистические оценки параметров распределения

Значения количественного признака х1, х2, ..., хk в выборке можно рассматривать как независимые случайные величины. В таком случае нахождение статистической оценки неизвест­ного параметра теоретического распределения означает отыс­кание функции от наблюдаемых случайных величин, которая и даст нам приближенное значение искомого параметра. Укажем виды статистических оценок.

Несмещенной называется статистическая оценка , мате­матическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любой выборке:

Смещенной называется оценка, при которой условие (18.51) не выполнено. Эффективной называется оценка, которая имеет минимальную дисперсию при заданном объеме выборки п. Со­стоятельной называется статистическая оценка типа (18.50), которая при п > стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Теперь укажем виды числовых характеристик оценок. Прежде всего, это средние. Генеральная средняя для изучаемо­го количественного признака Х по генеральной совокупности

и выборочная средняя

Если значения признака х1, x2, …, хk в выборке имеют соответ­ственно частоты n1, n2, ..., nk, то последнюю формулу можно переписать в виде

Можно показать, что выборочная средняя (18.52) является не­смещенной оценкой; это аналог математического ожидания случайной величины.

Введем в рассмотрение величины, характеризующие от­клонение значений количественного признака Х от своего сред­него значения. Это генеральная дисперсия:

и выборочная дисперсия:

Можно показать, что для вычисления этих характеристик справедливы более удобные формулы, аналогичные дисперсии случайной величины; так, формула (18.53) принимает вид

Генеральное среднее квадратическое отклонение опреде­ляется как

Аналогично вводится и выборочное среднее квадратическое отклонение

Пример 4. Выборка задана таблицей распределения

Найти выборочные характеристики: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. По формуле (18.52) сначала находим в:

Затем по формулам (18.54) и (18.55) находим две другие иско­мые величины:

Виды дисперсий

Часто значения количественного признака Х совокупности разбиваются на определенное число групп. Каждую группу можно рассматривать как самостоятельную выборку, и для каждой группы можно определить групповую среднюю и дис­персию. Пусть r — число групп. Групповой дисперсией на зывается дисперсия значений признака в группе относительно групповой средней:

где ni — частота значения xi в группе, j — номер группы j — групповая средняя j-й группы, Nj = ni, — объем j-й группы.

Зная дисперсию каждой группы, можно определить их сред­нюю арифметическую. Внутригрупповой дисперсией называ­ется средняя арифметическая дисперсий, где каждое слагаемое входит с весом объема группы:

В свою очередь, зная для всех групп средние j и общую среднюю , введем еще одно понятие. Межгрупповой диспер­сией называется дисперсия групповых средних относительно общей средней:

где п = — объем всей совокупности.

Для общей дисперсии всей совокупности справедлива сле­дующая теорема, которая приводится здесь без доказатель­ства.

ТЕОРЕМА 6. Если совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:

где слагаемые в правой части определяются соответствен­но формулами (18.57) и (18.58).

Поясним сказанное в этом пункте на примере.

Пример 5. Совокупность состоит из двух следующих групп:

Найти групповые, внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии.

Решение. Объемы групп соответственно равны N1 = 10 и N2 = 5. Общий объем совокупности: п = 10 + 5 = 15. Найдем групповые средние:

Теперь находим групповые дисперсии по формуле (18.56):

Внутригрупповая дисперсия, согласно формуле (18.57), равна:

Теперь найдем межгрупповую дисперсию по формуле (18.58), для чего сначала определим общую среднюю:

Наконец, общая дисперсия, согласно формуле (18.59), равна:

Эмпирические моменты

Для вычисления сводных характеристик выборок исполь­зуют эмпирические моменты, аналогичные соответствующим теоретическим моментам. Обычным эмпирическим моментом порядка s называется среднее значение s-x степеней разностей xi — С, где xi — наблюдаемая варианта, С — произвольная постоянная (ложный нуль — либо мода, либо любая варианта, расположенная примерно в середине вариационного ряда):

При C = 0 имеем начальные эмпирические моменты порядка s; в частности, в случае s = 1

Центральным эмпирическим моментом порядка s называется обычный момент (18.60) при С = в:

В частности,

Иными словами, выборочная дисперсия равна центральному эмпирическому моменту второго порядка. Центральные момен­ты выражаются через обычные по формулам, полностью ана­логичным (18.19) и (18.20).

Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения

Нормальное распределение является одним из самых рас­пространенных в применениях математической статистики. Для оценки отклонения эмпирического распределения от нор­мального используют характеристики, аналогичные для тео­ретического распределения (см. предыдущий раздел 18.6).

Асимметрия эмпирического распределения определяется следующим равенством:

Эксцесс эмпирического распределения определяется следу­ющим равенством:

В формулы (18.62) и (18.63) входят центральные эмпирические моменты, определяемые формулами (18.61), а также выбороч­ное среднее квадратическое отклонение (18.55).

Пример 6. Найти асимметрию и эксцесс эмпирического рас­пределения:

Решение. Найдем сначала в и σв с использованием фор­мул (18.52)-(18.55):

Далее, используя формулы (18.61), определяем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:

Затем по формулам (18.62) и (18.63) находим искомые величины:

В заключение отметим, что все оценки, приведенные выше, определяются одним числом, т. е. являются точечными. При малых объемах выборки точечная оценка может приводить к большим ошибкам и значительно отличаться от оцениваемого параметра.

УПРАЖНЕНИЯ

18.1. Из коробки с шестью деталями, среди которых четыре стандартные, наудачу взяты три детали. Составить закон рас­пределения дискретной случайной величины Х — количества стандартных деталей среди отобранных.

18.2. Книга издана тиражом 100 тысяч экземпляров. Вероят­ность брака в книге равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

18.3. Случайная составляющая дохода равна 2Х, а случайная составляющая затрат равна 50Y. Найти дисперсию прибыли при условиях: величина Х распределена по биномиальному за­кону с параметрами п = 100, р = 0,5; величина Y распределена по закону Пуассона с параметром λ = 2; случайные величины Х и Y являются независимыми.

18.4. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной законом распределения

18.5. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х — числа отказов элемента некоторого устройства — в 10 неза­висимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

18.6. Дискретная случайная величина Х задана законом рас­пределения

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и чет­вертого порядков.

18.7. Дано распределение двумерной дискретной случайной ве­личины (X, Y):

Найти ковариацию Cov (X, Y) и коэффициент корреляции Х и Y.

18.8. Непрерывная случайная величина Х задана на всей оси Ох функцией распределения F(x) = 1/2 + (arctg x) / π. Найти вероятность того, что величина Х примет значение, заключен­ное в интервале (0, 1).

18.9. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что Х примет значения: а) менее 0,2; б) менее трех; в) не менее трех; г) не менее пяти.

18.10. Дискретная случайная величина задана законом распре­деления

Найти функцию распределения и построить ее график.

18.11. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

18.12. Случайная величина Х задана на положительной полу­оси Ох функцией распределения F(x) = 1 - e-ax (а > 0). Найти математическое ожидание величины X.

18.13. Случайная величина Х задана на интервале (0,5) плот­ностью распределения f(x) = 2.x / 25; вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию X.

18.14. Случайная величина Х задана плотностью распределе­ния f(x) = е-|x| / 2. Найти математическое ожидание и диспер­сию.

18.15. Случайная величина задана функцией распределения

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

18.16. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интер­вале (2, 8).

18.17. Ребро куба х измерено приближенно в интервале (а, b). Найти математическое ожидание и дисперсию объема куба, ес­ли его ребро рассматривать как случайную величину Х с рав­номерным распределением на указанном интервале.

18.18. Размер мужских сорочек является случайной величиной с нормальным законом распределения, математическим ожи­данием 39 и дисперсией 9. Какой процент от общего объема заказа следует предусмотреть магазину для сорочек 40-го раз­мера воротничка при условии, что этот размер находится в интервале (39,5; 40,5)?

18.19. Найти формулу плотности вероятности нормально рас­пределенной случайной величины X, если математическое ожидание равно 3, а дисперсия равна 16.

18.20. Случайная величина Х распределена нормально с ма­тематическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания Х в интервал (10, 15) равна 0,2. Найти вероятность попадания Х в интервал (35, 40).

Раздел II. ОСНОВЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Управление и планирование являются наиболее сложными функциями в работе предприятий, фирм, служб администра­ций всех уровней. Долгое время они являлись монополией че­ловека с соответствующей подготовкой и опытом работы. Со­вершенствование науки, техники, разделение труда усложнили принятие решений в управлении и планировании.

Для принятия обоснованного решения необходимо иметь и обработать большое количество информации, определяемое иногда астрономическими цифрами. Принятие ответственных решений, как правило, связано с большими материальными ценностями. В настоящее время недостаточно знать путь, ве­дущий к достижению цели. Необходимо из всех возможных пу­тей выбрать наиболее экономичный, который наилучшим об­разом соответствует поставленной задаче.

Появление цифровых вычислительных машин и персональ­ных компьютеров создало огромные возможности для разви­тия науки, совершенствования методов планирования и управ­ления производством. Однако без строгих формулировок задач, без математического описания процессов современный уровень управления и планирования не может быть достигнут.

Задачи управления и планирования обычно сводятся к вы­бору некоторой системы параметров и системы функций, ко­торые приводят к экстремальным задачам следующего вида.

Требуется найти максимум функции

при условиях:

где f, gi — функции, x1, x2, ..., xп — параметры управления.

Выражение (а) называется функцией цели. Условия (b) и (с) представляют собой ограничения поставленной задачи. Усло­вия (с) справедливы для многих задач, особенно экономичес­ких, когда параметры управления (xj) по своему физическом смыслу не могут быть отрицательными. Среди условий задачи могут быть равенства.