Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 4 )

Задать функцию — значит указать закон, по которому, со­гласно определению, каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие (вычисляется) значение зависимой переменной из области значений функции. Сущест­вуют три основных способа задания функций: табличный, ана­литический и графический.

1. Табличный способ. Этот способ имеет широкое при­менение в разных отраслях знаний и приложениях: ряды экспе­риментальных измерений, социологические опросы, таблицы бухгалтерской отчетности и банковской деятельности и т. п. Как правило, в таких таблицах по крайней мере одну из пе­ременных можно принять за независимую (например, время), тогда другие величины будут являться функциями от этого аргумента. По сути дела базы данных основаны на табличном способе задания, хранения и обработки информации, а значит, и на табличной форме функциональной зависимости.

2. Аналитический способ. Этот способ состоит в зада­нии связи между аргументом и функцией в виде формул. Сле­дует подчеркнуть, что функция может определяться и набором формул — на разных промежутках области определения функции используются разные формулы.

Приведем примеры аналитического задания функций.

Пример 1. у = х3. Эта функция задана на бесконечной пря­мой - < x < . Множество значений этой функции тоже бесконечная числовая прямая - < у < . Функция называ­ется кубической параболой (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Пример 2. у = . Функция задана на отрезке [—1, 1], множество ее значений — отрезок [0, 1]. Это половина окруж­ности, лежащая в верхней полуплоскости (рис. 3.2).

Рис. 3.2

+1, если x > 0;

Пример 3. у = sign x = 0, если х = 0;

-1, если х < 0.

Термин sign происходит от латинского signum — знак. Функ­ция задана на всем бесконечном промежутке (-,), а область ее значений состоит из трех чисел: —1, 0, 1 (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Стрелки означают, что полупрямые не достигают точек ни оси ординат, так как при х = 0 значение функции определено по другому соответствию.

3. Графический способ. Здесь соответствие между аргу­ментом и функцией задается посредством графика. Этот спо­соб обычно используется в экспериментальных измерениях с употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейс­мографы и т. п.).

Область определения функции

Остановимся на процедуре нахождения области определе­ния функции.

1. В том случае, когда функция задана в аналитическом виде (посредством формулы)

(3.1)

и никаких ограничений или оговорок более не имеется, область ее определения устанавливается исходя из правил выполнения математических операций, входящих в формулу f в (3.1). Эти ограничения хорошо известны: подкоренное выражение в кор­не четной степени не может быть отрицательным, знаменатель дроби не может быть равным нулю, выражение под знаком ло­гарифма должно быть только

положительным, а также неко­торые другие. Приведем здесь два примера.

Пример 1. у = log2 (x2 — 5x + 6).

Область определения этой функции находится из условия x2 — 5x + 6 > 0. Поскольку x = 2 и x = 3 — корни квадратно­го трехчлена, стоящего под знаком логарифма, то это условие выполняется на двух полубесконечных интервалах: (-, 2) и (3, ). На рис. 3.4 выделена заштрихованная полоса, в которой график функции отсутствует.

Рис. 3.4

Пример 2. у = arcsin .

Область определения этой функции находится из совокуп­ности двух условий: аргумент под знаком arcsin не может быть по модулю больше единицы и знаменатель аргумента не дол­жен равняться нулю, т. е.

Двойное неравенство эквивалентно двум более простым нера­венствам: х + 2 ≥ 1 и х + 2 ≤ -1. Отсюда получаем, что область определения функции состоит из двух полубесконечных проме­жутков: (-, -3] и (-1, ). Запретная точка х = -2 сюда не попадает. В отличие от предыдущего примера концы полуин­тервалов входят в область определения функции.

2. Область определения функции задана вместе с функцией f(x).

Пример 3. у = 3x-4­­/3 + 2, 1 ≤ х ≤ 4.

3. Функция имеет определенный прикладной характер, и область ее существования определяется также и реальными значениями входящих параметров (например, задачи с физи­ческим смыслом).

Определение 2. Функция у = f(x) называется четной (сим­метрия относительно оси Оу), если для любых значений аргу­мента из области ее определения выполнено равенство

Определение 3. Функция у = f(x) называется нечетной (симметрия относительно начала координат О), если выпол­нено условие:

Например, функции у = х2 и у = cos x являются четными, а функции у = x3 и у = sin x— нечетными.

Приложения в экономике

Приведем примеры использования функций в области эко­номики.

1. Кривые спроса и предложения. Точка равнове­сия. Рассмотрим зависимости спроса D (demand) и предложе­ния S (supply) от цены на товар Р (price). Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной покупательной способности населения. Обычно зависимость D от Р имеет вид ниспадаю­щей кривой (рис. 3.5, а):

(3.2)

где а < 0. В свою очередь предложение растет с увеличением цены на товар, и потому зависимость S от Р имеет следующую характерную форму:

(3.3)

где b ≥ 1 (рис. 3.5, б). В формулах (3.2) и (3.3) с и d — так называемые экзогенные величины; они зависят от внешних причин (благосостояние общества, политическая обстановка и т. п.). Вполне понятно, что переменные, входящие в формулы (3.2) и (3.3), положительны, поэтому графики функций имеют смысл только в первой координатной четверти.

Рис. 3.5

Для экономики представляет интерес условие равновесия, т. е. когда спрос равен предложению; это условие дается урав­нением

и соответствует точке пересечения кривых D и S — это так называемая точка равновесия (рис. 3.6). Цена Ро, при которой выполнено условие (3.4), называется равновесной.

Рис. 3.6

При увеличении благосостояния населения, что соответ­ствует росту величины с в формуле (3.2), точка равновесия М смещается вправо, так как кривая D поднимается вверх; при этом цена на товар растет при неизменной кривой предло­жения S.

2. Паутинная модель рынка. Рассмотрим простейшую задачу поиска равновесной цены. Это одна из основных проб­лем рынка, означающая фактически торг между производите­лем и покупателем (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Пусть сначала цену P1 называет производитель (в прос­тейшей схеме он же и продавец). Цена P1 на самом деле выше равновесной (естественно, всякий производитель стремится по­лучить максимум выгоды из своего производства). Покупатель оценивает спрос D1 при этой цене и определяет свою цену Р2, при которой этот спрос D1 равен предложению. Цена Р2 ниже равновесной (всякий покупатель стремится купить подешев­ле). В свою очередь производитель оценивает спрос D2, соот­ветствующий цене P2, и определяет свою цену Р3, при которой спрос равен предложению; эта цена выше равновесной. Процесс торга продолжается и при определенных условиях приводит к устойчивому приближению к равновесной цене, т. е. к "скручи­ванию" спирали. Если рассматривать последовательность чисел, состоящую из называемых в процессе торга цен, то она имеет своим пределом равновесную цену Р0: Pn = P0.

3.2. Предел функции

Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X. Возьмем из Х последовательность точек

сходящуюся к точке а, причем а Х или a X. Соответ­ствующие значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

и правомерно рассмотреть вопрос о ее сходимости.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или пределом функции при х а), если для любой cходящейся к а последовательности (3.5) значений аргумента х, отличных от а, соответствующая последовательность зна­чений функции (3.6) сходится к числу А.

Для обозначения предельного значения функции использу­ется следующая символика: f(x) А. Заметим, что функция f(x) может иметь в точке а только одно предельное зна­чение, поскольку последовательность f(xn) имеет только один предел.

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Функция f(x) = С = const имеет предел в каж­дой точке числовой прямой. Действительно, любой последо­вательности (3.5), сходящейся к точке а, соответствует после­довательность (3.6), состоящая из одного и того же числа C, откуда следует, что f(xn) С при n .

Пример 2. Функция f(x) = х в любой точке а числовой пря­мой имеет предел, равный а. Действительно, последователь­ности значений аргумента (3.5) и значений функции (3.6) в этом случае тождественны, и если последовательность {xn} сходится к а, то и последовательность {f(xn)} также сходится к а.

Пример 3. Функция f(x) = имеет в точке x = 0 предел, равный -2. Действительно, пусть {xn} — любая по­следовательность значений аргумента, сходящаяся к нулю, т. е. lim xп = 0 при n , тогда в силу свойств последовательнос­тей 1—9 имеем

Левый и правый пределы функции

Здесь вводятся и в дальнейшем будут использоваться по­нятия односторонних пределов функции: когда последователь­ность значений аргумента xn а либо слева от точки а (левый предел), либо справа (правый предел), т. е. либо xп < а, либо xп > а. Для правого (левого) предела функции используется символическая запись:

Пример 4. Рассмотрим функцию f(x) = sign x (п. 3.1, при­мер 3). В точке x = 0 эта функция имеет левый и правый пределы:

Действительно, для любой сходящейся к нулю последовательности {xn}, у которой все элементы xп < 0 (xn > 0), соот­ветствующая последовательность значений функции состоит только из одного числа -1 (+1), т. е. предел слева (справа) в точке x = 0 также равен этому числу.

ТЕОРЕМА 1. Функция f(x) имеет в точке а предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют левый и правый пределы, причем они равны. В таком случае предел функции равен односторонним пределам.

Предел функции при х , x -, х

Кроме понятия предела функции в точке существует так­же и понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности. Для обозначения предела функции при x используется запись: f(x) = А.

Приведем пример предела функции при х . Пусть f(x) = 1/x. Эта функция имеет предел при x, рав­ный нулю. Действительно, если (3.5) — бесконечно большая последовательность значений аргумента, то соответствующая последовательность (3.6) значений функции имеет вид 1/x1, 1/x2,..., 1/xn,...; она является бесконечно малой (п. 2.1), т. е. ее предел равен нулю, или в символической записи (1/x) = 0.

Аналогично можно доказать, что (1/xn) = 0 при п > 0.

3.3. Теоремы о пределах функций

Арифметические операции над функциями, имеющими пре­дел в точке а, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

ТЕОРЕМА 2. Пусть функции f(x) и g(х) имеют в точке а пределы А и В. Тогда функции f(x) ± g{x), f(x)g(x) и f(x)/g(x) (при В ≠ 0) имеют в точке а пределы, равные соответ­ственно А± В, А В и А/В.

ТЕОРЕМА 3. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки а за исключением, быть мо­жет, самой точки а, и функции f(x) и g(х), имеют в этой точке предел, равный А: Кроме того, пусть выполнены неравенства f(x) ≤ h(x) ≤ g(x). Тогда

Заметим, что теоремы 3.2 и 3.3 справедливы и в случае, когда а является , + или -.