Оптика твердого тела и систем пониженной размерности (стр. 14 )

       Введем радиус-вектора относительного положения электроны и дырки и их центра масс . Тогда уравнение (3-39) можно переписать в виде:

,                        (3-39a)

где - полная и – приведенная ()  эффективные массы экситона.

       Последнее уравнение решается разделением переменных. Для этого представим волновую функцию в виде и, подставляя его в (3-39a), получим:

,                (3-39b)

где  –  полная энергия.

Отсюда получим  уравнения для соответствующих переменных:

                                               (3-40)

                                       (3-41)

Отметим, что (3-40) – это уравнение для свободного движения частицы, решением которого является плоская волна , где волновой вектор центра масс экситона .

Уравнение (3-41) решается аналогично задаче об атоме водорода. Собственные значения (энергии экситонных уровней) даются выражением:

,                                        (3-42)

где n=1,2,3,….

Радиус экситона равен:

                                       (3-43)

где =0.053 нм – это боровский радиус в атоме водорода.

Используя  , можно выразить энергию первого экситонного уровня, которая называется энергией связи экситона  или экситонным ридбергом :

.                                                (3-44)

Для большинства полупроводников (Si, Ge, GaAs,…) значение диэлектрической проницаемости достаточно велико: ε=11-16; приведенная эффективная масса мала:  . Тогда, как следует из (3.43), =6-10 нм, т. е. (для c-Si: нм). Другими словами, экситон делокализован в пределах многих постоянных решетки кристалла.

Как следует из (3-44), энергия связи экситона зависит от эффективной массы м диэлектрической проницаемости полупроводника и лежит в диапазоне =2-15 мэВ, что меньше, чем энергия теплового движения при комнатной температуре (26 мэВ), и  меньше энергий  ионизации большинства донорных и акцепторных примесей. Это означает, что экситон в объеме полупроводникового кристалла является достаточно слабосвязанным образованием и должен эффективно диссоциировать при комнатной температуре. Однако, для многих полупроводников энергия связи экситонов может быть порядка 10 мэВ, например, в c-Si: =14 мэВ. Поэтому даже при комнатной температуре край собственного поглощения c-Si в значительной степени определяется экситонными эффектами. Но особенно заметно проявление последних при пониженных температурах, где они могут целиком определять оптические свойства полупроводников вблизи края запрещенной зоны. Роль экситонных эффектов возрастает в низкоразмерных полупроводниковых структурах, где  могут достигать значений порядка 100 мэВ и более, что будет обсуждаться в последующих разделах.

Приняв нулевое значение энергии вблизи потолка валентной зоны, получим выражение для полной энергии экситона:

                               (3-45)

Экситон, как 2-х частичное образование, является поправкой к одноэлектронному приближению при описании твердых тел. Поэтому закон дисперсии экситона (3-45) не может быть однозначно изображен на рассчитанной в одноэлектронном приближении зонной диаграмме. Тем не менее, для удобства, экситонную дисперсионную зависимость изображают вблизи края зоны проводимости, как показано на рис. 3.22. Поглощение света очевидно начинается с энергий фотонов .

В прямозонных полупроводниках при достаточно низких температурах область экситонного поглощения может иметь вид серии линий (полос), соответствующих значениям n=1,2,3,…. Вследствие теплового движения электронов и дырок, что приводит к появлению экситонов с , происходит уширение экситоных линий поглощения. В большинстве прямозонных полупроводников, например, в GaAs, ZnSe, обычно виден только первый пик, соответствующий n=1 (см. рис. 3.23). Для непрямозонных полупроводников область экситонного поглощения еще более «размыта» вследствие вовлечения различных фононов, и наблюдается набор широких полос или ступеней для энергий фотонов , где – энергия фонона (см. рис. 3.24).

Появление экситонов возможно также для дипольно-запрещенных переходов, которые становятся частично разрешенными для n=2,3,…, как, например, в закиси меди Cu2O. Именно в этом материале впервые наблюдались экситоны ( и др., 1952 г.). Дело в том, что в Cu2O пик с n=1 отсутствует, что облегчает наблюдение линий с более высокими значениями n, имеющих вид, подобный атомной серии (см. рис. 3.25).

Отметим, что выше были проанализированы лишь основные спектральные проявления экситонных процессов без учета их влияния на абсолютное значение коэффициента поглощения. Точный расчет последнего достаточно сложен. В то же время отметим, что вклад экситонных процессов приводит не только к появлению поглощения в области , но и к росту α  для , поскольку учет кулоновского взаимодействия фотовозбужденных носителей заряда приводит к усилению силы осциллятора соответствующего оптического перехода по сравнению со случаем чисто межзонных переходов.

§ 3.10. Экситонные комплексы и коллективные эффекты; фазовый переход Мотта в системе экситонов

Кулоновское взаимодействие между фотовозбужденными электронами и дырками может приводить к возникновению не только изолированных свободных экситонов, но и их комплексов, некоторые их которых схематично показаны на рис. 3.26.

Энергия связи биэкситона обычно меньше или порядка , тогда как энергия связи связанного экситона может намного превышать .

Рассмотрим теперь случай, когда концентрация экситонов достаточно велика, так что необходимо учитывать взаимодействие между ними. Тогда, помимо экситонных молекул, возможны коллективные виды возбуждения. Если , что с учетом rex ~ 10 нм соответствует ≥ 1018 см-3, то происходит экранирование электрического поля в каждом экситоне окружающими экситонами. В результате возникает неидеальный газ экситонов. Рассматривая коллективные эффекты в неидеальном газе экситонов, следует принять во внимание, что изначально каждый экситон представляет собой связанное состояние 2-х фермионов (электрона и дырки) и поэтому может быть рассмотрен как бозе-частица. Поэтому принцип запрета Паули не применим, и при увеличении , в принципе, возможна бозе-эйнштейновская конденсация в газе экситонов. Однако с ростом возрастает роль эффектов диэлектрического экранирования кулоновского взаимодействия в экситоне. В результате при достаточно большой возможно разрушение связанного состояния электрона и дырки и образование электронно-дырочной жидкости (ЭДЖ), частицы в которой которая подчиняются статистике Ферми-Дирака. Переход от бозе-газа экситонов к фермиевской ЭДЖ – фазовый переход Мота. Это фазовый переход 1-го рода, который возможен лишь при температурах ниже некоторой критической температуры Ткр, что иллюстрирует фазовая диаграмма в координатах T и на  рис. 3.27.