Оптика твердого тела и систем пониженной размерности (стр. 33 )

       (7-27b)

Мнимая часть дается выражением:

                       (7-27с)

Так как согласно формуле (1.9b): , то получим для коэффициента поглощения при поляризации света, перпендикулярной слоям:

               (7-28)

Следовательно, в области низких частот имеет место квадратичный по частоте рост коэффициента поглощения, что кардинально отличается от случая однородного полупроводника, где поглощение на свободных носителях заряда практически слабо зависит от частоты в данной спектральной области. С другой стороны, отметим, что в области высоких частот для ГС, как и для однородного полупроводника, наблюдается асимптотика , т. е. имеет место типичная для Друде-поглощения частотная зависимость (см. рис. 7.10).

Таким образом, в ламинарной ГС имеет место соотношение , т. е. присутствует анизотропия коэффициента поглощения, называемая дихроизмом. Для рассматриваемой системы , что согласуется с хорошо известным случаем прохождения поляризованного света, через металлическую дифракционную решетку, когда свет, поляризованный вдоль направления штрихов, поглощается значительно сильнее, чем для перпендикулярного направления. Дихроизм в полупроводниковой ГС может проявлять сильную спектральную зависимость (дисперсию), что вызвано различием частотных зависимостей и . Кроме того, показатель преломления такой системы также анизотропен вследствие эффекта двулучепреломления формы (см. § 7.4).

Рассмотренная анизотропия коэффициента поглощения и показателя преломления ламинарной ГС является частным случаем оптической анизотропии произвольной ГС, содержащей анизотропные по форме включения различных компонент. Оптические характеристики статистической ГС могут быть рассчитаны на основе обобщенной формулы Бруггемана (7-25) с использованием значений тензора деполяризации, определяемого геометрической формой включений.

§ 7.4. Влияние размеров тел на их оптические свойства; квантовый размерный эффект

Используемые в предыдущих разделах значения диэлектрической проницаемости, дисперсионные зависимости и другие электронные и оптические характеристики были получены в предположении неограниченных размеров ТТ. В то же время, когда размеры ТТ уменьшаются до величины сравнимой с длиной волны де-Бройля носителей заряда (электронов и дырок) λ e, h, то необходимо учитывать влияние ограничения (конфаймента) движения последних на электронные и оптические свойства ТТ. Данный размерный эффект носит названия квантового размерного эффекта (КРЭ), поскольку изменение свойств ТТ имеет сугубо квантово-механическую природу. Очевидно, что уменьшая размеры ТТ можно в пределе перейти к отдельным молекулам и атомам, обладающими дискретным спектром.

Понять суть КРЭ легко, если обратиться к основам квантовой механики, а именно, к положению о корпускулярно-волновом дуализме. В соответствии с ним любая движущаяся частица, в частности, электрон в кристалле, является одновременно волной, называемой часто волной де-Бройля, длина которой дается выражением:

       ,                                        (7-14)

где h=6.67*10-34 Дж/с – постоянная Планка, pe – импульс (или квазиимпульс) частицы (электрона в кристалле). 

Для большинства ТТ величина λ e  лежит в диапазоне 10-7-10-5 см. В полупроводниках и полуметаллах значение λ e минимально (~10-5 см) вследствие малой эффективной массы носителей заряда m*. Если размеры ТТ составляют порядка λ e, то из-за отражения волны де-Бройля от границ ТТ возникает стоячая волна, и, следовательно, появляется добавочная энергия. В ее появлении и состоит  КРЭ в узком смысле этого понятия.

       В зависимости от того насколько ограничено распространение волны де-Бройля различают следующие случаи:

3D объекты, в которых нет ограничений? и нет КРЭ. Это объем ТТ. 2D объекты, или, так называемые, квантовые ямы, в которых ограничение есть по 1-му направлению. Это  тонкие слои и пластины. 1D объекты, или, так называемые, квантовые нити и проволоки. Для них движение носителей ограничено по 2-м направлениям. Это  нитевидные кристаллы, атомные цепочки и ступени на поверхностях ТТ. 0D объекты, или, так называемые, квантовые точки. Для них движение носителей ограничено по всем 3-м направлениям. Это  нанокристаллы, малые частицы и атомные кластеры.

Рассмотрим КРЭ для 2D объекта. Пусть электрон с изотропной эффективной массой помещен в квантовую яму шириной d с бесконечно высокими стенками, так что его движение ограничено по одной из координат, которую для определенности обозначим как z (см. рис. 7.9). Частица в такой яме ведет себя как фотон в резонаторе Фабри-Перо. Условия для мод в резонаторе имеют вид:

,                                (7-15)

где n = 1,2,3,…. В этом случае величина квазиимпульса в направлении z квантуется (так называемое, вторичное квантование):

                       (7-16)

Так как кинетическая энергия частицы , то получим выражение для квантово-размерной добавки к энергии:

                       (7-17)

В выражениях (7-16) и (7-17) натуральное число n соответствует номеру уровня размерного квантования, а величина часто называется энергией размерного квантования.

Поскольку в одномерной квантовой яме движение электрона по двум другим координатам (x, y) не ограничено, то квантово-размерная добавка складывается с квазинепрерывными дисперсионными зависимостями :

       (7-17а)

Аналогично рассматривается появление квантово-размерной добавки к энергии дырки. В этом случае необходимо учитывать, что эффективная масса дырки отрицательна и поэтому . В результате происходит рост ширины запрещенной зоны рассматриваемого 2D объекта на величину:

       (7-18)

Если ввести приведенную массу, определяемую как , то выражение (7-18) будет иметь вид:

                                       (7-18а)

Примерный вид дисперсионных зависимостей для носителей заряда в квантовой яме показан на рис. 7.10, где пунктирные линии – те же зависимости для объема ТТ, т. е. для случая . Очевидно, что .

Таким образом, при уменьшении размеров ТТ энергия носителей заряда и ширина запрещенной зоны в нем возрастают как . К аналогичному выводу можно прийти, используя соотношение неопределенностей Гейзенберга. Действительно, вследствие пространственного ограничения координата электрона известна с точностью , тогда  неопределенность соответствующей компоненты квазиимпульса удовлетворяет условию:

                       (7-19)

Тогда получим для величины неопределенности энергии:

                       (7-19а)

Если КРЭ возникает вследствие ограничения в нескольких направлениях, то, очевидно, энергии размерного квантования в различных направлениях складываются. Для 0D-объектов (квантовых точек) сферической формы эти энергии могут быть рассчитаны аналитически и составляют: