Оптика твердого тела и систем пониженной размерности (стр. 31 )

       Рассмотренные выше случаи возникновения двулучепреломления в периодических средах являются частными случаями, так называемого, двулучепреломления формы (или оптической анизотропии формы). Данный вид оптической анизотропии возникает, когда среда состоит из анизотропных по форме элементов с показателем преломления, отличным от значения для окружающей их среды. При этом важно, чтобы характерные поперечные размеры неоднородностей показателя преломления были бы много меньше, чем длина волны света. Общий случай двулучепреломления формы, когда форма областей с иным показателем преломления может быть аппроксимирована эллипсоидами с произвольным соотношением осей, будет рассмотрен в следующих параграфах.

§ 7.4. Эффективная диэлектрическая проницаемость твердотельной гетеросистемы

7.4.1. Основные положения теории эффективной среды

Рассмотренные выше периодические среды являются частными случаями, так называемых, твердотельных гетеросистем (ГС). Последние представляют собой системы, состоящие из 2-х или более сред с различными диэлектрическими проницаемостями и формами структурных элементов. Если характерные размеры структурных элементов каждой из сред много меньше длины световой волны λ, то ГС может быть рассмотрена как однородная оптическая среда, а ее свойства могут быть описаны эффективной диэлектрической проницаемостью , которая, вообще говоря, комплексна. Зная можно рассчитать эффективный показатель преломления ГС . Условие часто называют электростатическим приближением, имея в виду, что электрическое поле световой волны на маштабах отдельной неоднородности диэлектрической проницаемости среды можно рассматривать как постоянное, т. е. использовать методы решения задач электростатики. Для более компактной записи формул будем использовать гауссову систему единиц и опустим знак комплексности (~) у используемых величин.

Рассмотрим вначале 2-х компонентную ГС, состоящую из сред с диэлектрическими проницаемостями и . Пусть среды состоят из структурных элементов произвольной формы и расположения в пространстве, занимающих объемы и , соответственно. Тогда для полного объема ГС имеем:

                                               (7-14)

или

  ,                                (7-14а)

где – соответствующие факторы заполнения.

       Средние по объему значения векторов напряженности электрического поля и электрической индукции могут быть записаны в виде:

               (7-15)

        (7-15а)

Введем величину эффективной диэлектрической проницаемости:

                                        (7-16)

и, так называемых, факторов поля, описывающих во сколько раз среднее поле  в каждой из компонент среды отличается от среднего поля во всей ГС:

                                        (7-16а)

Тогда выражения (7-15) и (7-15а)  можно переписать в следующем виде:

                               (7-17)

                        (7-17а)

Подставив (7-17) в (7-17а), получим:

                        (7-18)

Из последнего  выражения имеем:

                        (7-18а)

Аналогично получим:

                        (7-18b)

Из соотношений (7-18а) и (7-18b) получим следующее равенство:

,                                (7-19)

которое после преобразования к виду

,        (7-19а)

легко может быть обобщено на случай многокомпонентной ГС:

,                                (7-20)

где – количество компонент ГС. При этом, очевидно, должно выполняться условие нормировки:

.                                        (7-20а)

Уравнение (7-20) совместно с условием (7-20а) является базовым в рамках концепции эффективной диэлектрической проницаемости ГС. Различные модели эффективной среды, которые будут рассмотрены ниже, наряду с уравнениями (7-20), используют также дополнительные предположения и приближения относительно величин и . Это позволяет найти значения величины , которая может быть тензором вследствие тензорной природы даже в случае, если – скалярные величины.

7.4.2. Матричные и статистические гетеросистемы; формулы Максвелла и Максвелла-Гарнетта; приближение эффективной среды Бруггемана

       В качестве основных модельных приближений в теории эффективной среды рассматриваются два типа ГС, а именно, 1) матричные ГС, в которых каждый элемент среды-включения окружен со всех сторон некоторой средой-матрицей, и взаимодействием элементов включения можно пренебречь, и 2) статистические ГС, для которых все компоненты среды равноправны.

       Проанализируем в качестве примера случай 2-х компонентной матричной ГС со сферическими включениями, причем фактор заполнения включений . Тогда для расчета удобно использовать выражение (7-18), и задача сводится к нахождению фактора поля . Для этого решим задачу электростатики о диэлектрическом шаре.

Пусть, как изображено на рис. 7.9, шар с диэлектрической проницаемостью и радиусом R окружен средой с диэлектрической проницаемостью и находится во внешнем поле с напряженностью . Поля вне и внутри шара обозначим как и , соответственно.

Потенциал электрического поля вне и внутри шара ищем в виде: и , где В и А – некоторые постоянные. Тогда для напряженности поля внутри шара имеем: .

Из условия непрерывности потенциала на поверхности шара получим:       .