Оптика твердого тела и систем пониженной размерности (стр. 36 )

       После такого качественного введения перейдем к количественному анализу оптических нелинейностей. Для простоты не будем пока учитывать в явном виде тензорный характер оптических восприимчивостей. Тогда для проекции вектора на направление действия внешнего поля можно записать разложение в ряд:

,                (8-2)

где , и т. д. – нелинейные (квадратичная, кубичная и т. д.) оптические восприимчивости. Отметим, что , т. е. отношение выступает в качестве параметра разложения поляризации по степеням напряженности электрического поля.

       Величины отражают свойства симметрии кристалла. Так в центросимметричных кристаллах (т. е. где существует центр инверсии) квадратичная восприимчивость . Действительно, в такой среде операция инверсии будет менять знаки  и и , что с учетом соотношения (8-2) возможно только в случае,  если и  другие «четные» нелинейные восприимчивости равны 0. К аналогичному выводу приводит также простейший анализ, проведенный выше (см. рис. 8.1).

Необходимо отметить, что все сказанное выше справедливо лишь тогда, когда поляризация среды может быть представлена как разложение (8-2), т. е. в так называемом дипольном приближении. Более общее мультипольное разложение приводит к отличным от 0 значениям «четных» нелинейных восприимчивостей. В то же время, квадратичная восприимчивость центросимметричной среды в квадрупольном приближении по порядку величины обычно соответствует для той же среды в дипольном приближении.

       В дипольном приближении вектор поляризации может быть представлен в виде суммы компонент:

,                                (8-2а)

где

,                                        (8-2b)

,                                        (8-2с)

где и – тензоры 3-го и 4-го рангов, соответственно, а индексы  принимают значения .

       Чтобы представить, какие оптические эффекты возможны в нелинейной среде, рассмотрим в качестве примера случай, когда в кристалле в направлении  z распространяются две волны с разными частотами и взаимо-перпендикулярными направлениями поляризации:

,                                        (8-3)

Тогда для х-компоненты вектора поляризации среды получим:

,                (8-4)

В выражении (8-4) 1-й и 4-й члены содержат гармоники на частотах , 2-й – и , 3-й – и . Очевидно аналогичный набор гармоник содержится также в компоненте . Рис. 8.2 иллюстрирует обсуждаемое появление новых частот, а  на рис. 8.3 показан частный случай . Рассмотренные компоненты поляризации среды описывают  генерацию волн суммарной и разностной частот, а также обсуждавшиеся выше процессы ГВГ и оптического выпрямления. В случае, если одна из компонент нелинейно взаимодействующих полей имеет нулевую частоту, то наблюдается линейный электрооптический эффект (эффект Поккельса)

Итак, в случае квадратичной нелинейности возможны следующие нелинейно-оптические эффекты:

1) ГВГ;

2) оптическое выпрямление;

3) параметрическое смешение частот;

4) эффект Поккельса.

Аналогично можно показать, что наличие кубичной по полю нелинейной поляризации приводит к появлению поляризации среды на некоторой частоте , являющейся комбинацией исходных частот . Важными частными случаем нелинейно-оптического отклика 3-го порядка являются:

1) генерация третьей гармоники ();

2) самовоздействие, например, самофокусировка ();

3) двухфотонное поглощение;

4) комбинационное (Рамановское) рассеяние света;

5) квадратичный электрооптический эффект (эффект Керра).

Эффективность некоторых нелинейно-оптических процессов 3-го порядка, например, генерации гармоник и смешения частот, определяется не только величинами соответствующих компонент тензора , но также и фазовыми соотношения между между волнами накачки и возникающим нелинейно-оптическим откликом. В других явлениях, таких как, многофотонное поглощение, Рамановское рассеяние, эти соотношения несущественны.

Компоненты тензоров и обладают определенной взаимосвязью, следующей как из их определения, так и из симметрии среды, что задается так называемыми правилами Клеймана. Приведем без доказательства некоторые из них. Так, всегда справедливо перестановочное соотношение:

,                                (8-5)

Все три индекса в тензоре можно переставлять, если среда прозрачна на всех частотах.

§ 8.2. Генерация оптических гармоник и смешение частот

Из широкого спектра нелинейно-оптических явлений рассмотрим подробно лишь генерацию гармоник и смешение частот, что связано как с относительной простотой получения основных соотношений, так и с большими возможностями применений данных эффектов для анализа свойств твердых тел.

Как и при анализе линейного оптического отклика среды (см. § 1.2) основопологающими в анализе нелинейно-оптического оклика являются уравнения Максвелла (1-1). Для простоты будем полагать, что среда является немагнитной, непроводящей и объемный заряд отсутствует, т. е. что . Выражение для вектора электрической индукции можно представить в виде:

,                (8-6)

где и .

Из уравнений Максвелла с учетом условия и соотношения (8-6) следует:

               (8-7)

Последнее выражение, учитывая, что и в нашем случае =1, можно переписать в виде:

                                       (8-8)