Оптика твердого тела и систем пониженной размерности (стр. 8 )

По порядку величины ~108 см-1, где – постоянная решетки, в то время как, ≤ 106 см-1 вплоть до УФ спектральной области (λ≥100 нм). Следовательно,    и с точностью до вектора обратной решетки получим из (3.1b) следующий закон сохранения квазиимпульса:

        .                                (3-1c)

Другими словами, при поглощении фотона волновой вектор и квазиимпульс носителей заряда практически не изменяются, т. е. происходит  прямой (вертикальный) оптический переход (см. рис. 3.3). Тогда из закона сохранения энергии (3-1а) и параболичности дисперсионных зависимостей с учетом того, что и ,  получим:

       ,                (3-2)

где mr – приведенная масса, определяемая соотношением: .

Коэффициент поглощения фотона с энергией hν является суммой (интегралом) по всем парам состояний, удовлетворяющих условию (3-2):

                                       (3-3)

где wif  – вероятность оптического перехода, ni и nf – число исходных и конечных состояний, соответственно, А – нормировочный коэффициент.

В интегральном представлении соотношение (3-3) имеет вид:

,                (3-3а)

где имеют смысл плотностей исходных и конечных состояний, участвующих в переходе.

Величины определяются плотностью состояний N(E) в соответствующих зонах, а также функцией заполнения Ферми-Дирака f(E):

                       (3-4)

Для нахождения вида функции N(E) в 3-х мерном случае рассмотрим, следуя известному из статистической физики подходу, сферическую изоэнергетическую поверхность в  -пространстве. Элементарное приращение объема такого пространства равно , а на одно состояние приходится объем 8π3/V, V – объем кристалла. Число состояний, приходящихся на интервал  ,  равно:

,                                        (3-5)

где коэффициент 2 перед дробью возникает вследствие спинового вырождения. Тогда получим для количества состояний на единицу объема вещества:

       ,                                (3-5а)

где – функция плотности состояний, зависящая от модуля .

Для сферической изоэнергетической поверхности ,  а следовательно 

  ,                                                                (3-6)

где – эффективная масса. Отметим, что если изоэнергетические поверхности несферические, то вводят эффективную массу плотности состояний , где и , – продольная и поперечные массы, соответственно.

Из  формул (3-5а) и (3-6) следует выражение для плотности состояний в k-пространстве:

                       (3-7)

Так как число состояний в фиксированном интервале k или Е постоянно, то:

                                               (3-8)

Согласно (3-7) и (3-8)  получим:

                         (3-9)

Следовательно, для объемных фаз полупроводников (т. е. для размерности 3D) имеет место корневая зависимость для плотности состояний от энергии вблизи краев разрешенных зон, как схематично показано на рис. 3.4.

Важным параметром, определяющим число состояний, участвующих в оптическом поглощении, является их степень заполнения, которая дается функцией распределения Ферми-Дирака (см. рис. 3.5):

                                        (3-10)

Будем считать полупроводник невырожденным:

                                               (3-10а)

Тогда из выражений  (3-4), (3-9) и (3-10а) получим для плотности участвующих в оптических переходах состояний:

                       (3-11а)

               (3-11b)

       Так как состояния Еf  и Ei не являются независимыми, а связаны законом сохранения энергии (3-1а), то можно ввести так называемую комбинированную плотность состояний

,                                (3-12)

которая связана с плотностями состояний в зонах следующим образом:

               (3-12а)

       Вероятность переходов wif  можно найти по теории возмущений 1-го порядка для 2-х уровневой системы:

,                                 (3-13)

где , – матричный элемент оператора возмущения ,   – векторный потенциал,   – оператор импульса.

       Из квантовой электродинамики известно, что для дипольно-разрешенного перехода  квадрат модуля гамильтониана возмущения дается выражением:

,                                 (3-14)

где – поток фотонов с частотой , а квадрат матричного элемента оператора импульса можно выразить через силу осциллятора перехода следующим образом: