Оптика твердого тела и систем пониженной размерности (стр. 9 )

                                                       (3-15)

       Анализ параметра позволяет судить о том, насколько возможен оптический переход, а также записать правильную асимптотику для вблизи . Действительно, рассмотрим x-компоненту оператора , т. е. . Для того чтобы интеграл отличался от 0, функции должны иметь разные четности. Аналогичные рассуждения справедливы и для других компонент матричного элемента оператора импульса, квадрат которого . Если начальное i-состояние соответствует  атомной s-функции, а конечное f-состояние – p-функции, то , а переход называется дипольно-разрешенным. Для дипольно-разрешенных переходов слабо зависит от волнового вектора , и поэтому .

       Таким образом, при прямых дипольно-разрешенных переходах имеем следующее выражение для коэффициента поглощения света:

                                       (3-16)

где слабо зависит от частоты вблизи . Действительно, используя соотношение (3-15), можно записать: . Обычно в полупроводниках показатель преломления является слабо изменяющейся функцией вблизи , поскольку в основном определяется поляризацией решетки и вкладом валентных электронов. Поэтому соотношение (3-16) хорошо описывает край поглощения прямозонных полупроводников при дипольно-разрешенных переходах. 

       В случае дипольно-запрещенного перехода, которым, например, является переход из s-состояния в d-состояние, имеем: , где , а . Отсюда получим приближенное выражение для коэффициента поглощения света при прямых дипольно-запрещенных переходах:

                                               (3-17)

где . Поэтому более точная спектральная зависимость коэффициента поглощения для запрещенных переходов в прямозонных полупроводниках имеет вид:

          .                                        (3-17а)

§ 3.3. Поглощение света при непрямых переходах

В некоторых полупроводниках, например, в Si, Ge, GaP и др., потолок валентной зоны и дно зоны проводимости расположены в различных точках -пространства, как схематично показано на рис. 3.6. Такие полупроводники называются непрямозонными. Запрещенная зона (непрямая) , как и в прямозонных материалах, соответствует минимальному зазору между c - и v-зонами. Однако, в непрямозонных полупроводниках при поглощении фотона с энергией невозможен вертикальный переход (рассмотренный в п.3.1), но возможен непрямой оптический переход , изображаемый наклонной стрелкой на упрощенной схеме (см. рис. 3.6). Для его описания используется теория возмущения 2-го порядка. Рассматривается переход в 2 этапа, включая промежуточное виртуальное состояние, а именно, процесс I: или II . Виртуальные состояния характеризуются тем, что время их жизни τ  достаточно мало, что может быть оценено, используя соотношение неопределенности Гейзенберга: , где имеет смысл разности от энергии реального перехода.

Рассмотрим подробнее процесс I (см. рис. 3.6). Переход –вертикальный, и его вероятность пропорциональна . Для фотонов с энергией такой переход, вообще говоря, запрещен из-за несохранения энергии. Однако, если состояние виртуальное, то переход возможен на временах , где . В целом, в процессе энергия сохраняется, но для сохранения квазиимпульса необходимо участие фонона. При этом законы сохранения энергии и квазиимпульса имеют вид:

                                               (3-18а)

,                                                (3-18b)

где  и – энергия и волновой вектор фонона. Отметим, что соотношение (3-18b) записано с точностью до вектора обратной решетки и в пренебрежении волновым вектором фотона, значение которого, как уже обсуждалось в п.3.1,  ≤ 106 см-1 вплоть до УФ спектральной области, тогда как  ~~108 см-1.

       Вероятность в единицу времени для перехода I может быть найдена по теории возмущения 2-го порядка и выражена следующим образом:

,                                 (3-19)

где, – матричный элемент гамильтониана для вертикального оптического перехода ,  рассчитываемого как в п.3.1, – матричный элемент гамильтониана электрон-фононного взаимодействия для перехода .

       Для  процесса необходимо рассматривать возможность как поглощения (), так и испускания () фононов. Соответствующие матричные элементы переходов имеют вид: