Основные алгебраические структуры (стр. 10 )

Свойства изоморфизмов. 1. Если f: G S - изоморфное отображение группы G на группу S, то обратное отображение f: S G так же является изоморфизмом;

2. Если G, S и T - три группы, а f: G S и g: S T - два изоморфизма, то их композиция gf: G T - также изоморфизм;

3. Пусть : G S - сюръективный (Im = S) гомоморфизм. Тогда фактор-группа G/ изоморфна группе S.

Доказательство. 1. Поскольку - по определению - изоморфизм f: G S - это биективное отображение, мы можем построить для него обратное отображение f: S G также биективное. Возьмем u, vS. Пусть f(u) = xG, f(v) = yG, или, что то же самое по сути, - f(x) = u, f(y) = v. Поскольку f - изоморфизм, то, согласно (1) §5, f(xy) = f(x)f(y) = uv. Но тогда f(uv) = xy = f(u) f(v), т. е., f - изоморфизм.

2. Устанавливается рутинной проверкой.

3. Так как Ker<| G, то мы можем построить фактор-группу G/ (см. (7), (8) §4). Зададим отображение f:S G/ правилом:

уS, f(y) = xKer (x) = y (1)

Покажем, что правилом (1) действительно задано отображение (то же самое: правило (1) задает отображение корректно). Для этого надлежит установить, что фиксированному уS по формуле (1) отвечает единственный (!) элемент xKer G/. В (1) класс смежности xKer задан своим элементом х G. Если он задан другим своим элементом, например z - xKer = zKer, - то это означает, что xz Ker, т. е., (xz) = 1, откуда (x) = (z) и по формуле (1), прочитанной справа налево, f(y) = zKer, т. е., правилом (1) f(y) определяется однозначно.

Биективность f. Взяв произвольный элемент xKer G/, мы по элементу х G, задающему xKer, немедленно найдем y = (x)S, являющийся, согласно (1), прообразом в S для xKer G/: f(y) = xKer, т. е., отображение f сюръективно. Пусть теперь у,уS, f(у) = f(у). Согласно (1) это означает, что хKer = xKer, где - вновь согласно (1) - x и x выбраны так, что (x) = y и (x) = y. Равенство хKer = xKer означает, что xx Ker или - по иному - (x) = (x), т. е., y = y. Итак, f(у) = f(у) y = y, а это и есть индикатор инъективности отображения f. Итак, f - биективно.