Основные алгебраические структуры (стр. 6 )

2 3. Пусть дано (4). Возмем zG = xH (см. (4) §3). Тогда tH такое, что z = xt. Отсюда t = xz. А так как tH, то (x)t(x) = (x)(xz)x = zx = sH, т. е., z = sхHx = G. Итак, доказано, что zG z G, т. е., G G. Аналогично доказывается обратное включение - G G, - что окончательно устанавливает (5).

3 1. Возьмем u, vG и пусть uLv. Тогда u G, а в силу (5) uG, что означает uRv, т. е., выполняется (1), а значит - по определению - выполняется (3). Теорема доказана.

Комментарий. Условие 2 (или (4) - что одно и то же) в теоретико-множественной редакции (см. §2, Замечание к критерию подгруппы) выглядит следующим образом:

GHG H (4*)

Доказанная теорема дает, по сути, два критерия нормального делителя: ведь каждое из соотношений (4), (5) само по себе является критерием.

Пример. Применим критерий нормального делителя к подгруппе SL(n, F) (специальная линейная группа) полной линейной группы GL(n, F). Будем действовать в соответствии с (2). Нам надлежит установить истинность правой часть (3). Выбираем A GL(n, F) и B SL(n, F). Нам надлежит установить истинность соотношения АВА SL(n, F). Дляэтого необходимо найти Det(АВА). Находим: Det(АВА) = Det(А) DetВ DetА = Det(А) DetА = (DetА) DetА = 1, т. е., АВА SL(n, F). В развертывании последовательности равенств мы учли, что B SL(n, F), а значит DetВ =1. Итак, SL(n, F) <| GL(n, F).

Нормальные делители групп являют собой источник для построения новых групп. Делается это следующим образом. Пусть в произвольной группе G выделена подгруппа H, являющаяся ее нормальным делителем:

H <| G (6)

Рассмотрим разложение (2) группы по ее нормальному делителю:

G = {xH| xG} (7)

Следующим правилом введем операцию умножения на G:

( xH), (уH) G (( xH) (уH) (ху) H) (8)

У формулы (8), задающей умножение на G, есть один «дефект»: потенциальная зависимость результата умножения классов смежности от выбора в этих классах элементов, их представляющих. Нам надлежит показать мнимый характер этой зависимости, т. е. доказать утверждение:

x, y,u, vG (((xH = uH) (yH = vH)) ((xy)H = (uv)H)) (9)

На языке математики доказать (9) значит установить корректность задающей формулы (8). Докажем (9). Левая часть импликации (9) означает, что xu, yvH. Установить истинность равенства в правой части импликации (9), значит установить, что (xy)(uv) H. Проверяем (внимание! - будет выполнено тождественное преобразование и использован крнитерий (4)): (xy)(uv) = (yx)(uv) = y(xu)v = (y(xu) у)(уv)H. Требуемое доказано, формула (8) задает умножение на G корректно!