Основные алгебраические структуры (стр. 18 )

3. Пусть : R S - сюръективный (Im = S) гомоморфизм. Тогда фактор-кольцо G/ изоморфно кольцу S.

§5. Характеристика кольца

Пусть R - произвольное кольцо. Займемся его аддитивной группой (R, +). По отношению к единице кольца мы можем поставить вопрос о ее порядке Or1 как элемента его (кольца) аддитивной группы (см. §7 Главы I).

Определение. Кольцо R называют кольцом конечной характеристики, если в аддитивной группе кольца элемент 1 является элементом конечного порядка. Если же 1 в аддитивной группе кольца R есть элемент нулевого порядка, то R называют кольцом нулевой характеристики. Порядок 1 в аддитивной группе кольца (натуральное число или ноль - см. §7 Главы I) называют характеристикой кольца и обозначают СharR (англ. сharacteristic – характеристика):

СharR Or1 (1)

Примеры. 1. В аддитивной группе кольца Z элемент 1 есть элемент нулевого порядка. Поэтому кольцо Z является кольцом нулевой характеристики: Сhar Z = 0;

2. Возьмем кольцо Z (см. Пример 3 §7 Главы I). Элемент Z (единица) аддитивной группы кольца Z является элементом конечного порядка, причем OrZ = m, т. е., кольцо Z является кольцом конечной характеристики и Сhar Z = m.

Теорема. Если R - кольцо конечной характеристики, то

аR, (CharR)a = 0 (2)

Доказательство. Прямым вычислением находим CharR-кратное (по-русски можно прочитать как «характеристико-кратное») элемента а:

а+а+ . . . +а = 1а+1а+ . . . +1а = (1+1+ . . . +1)а = 0а = 0 (3)

CharR слагаемых. . . . . . . . . Or1 слагаемых

 

Выстраивая цепочку равенств (3), мы учли (1) и определение порядка элемента группы (см. §7 Главы I).

§6. Делимость в кольце и главные идеалы. Делители нуля, целостные кольца. Ассоциированные элементы кольца

Пусть R - произвольное кольцо.

Определение. Говорят, что элемент aR делит элемент bR - обозначают a|b, - если сR, такой, что b = ac. При этом а называют делителем, b - делимым.

Формальная редакция определения делимости:

(a, bR) (a|b (cR, b = ac)) (1)

Замечание. Если a делит b, то говорят также, что b делится на a и пишут: b÷a.

Из (1) следует, что

a, bR (a|b bRа) (2)

Т. е., делимость элементов кольца содержательно эквивалентно дублируется отношением принадлежности делимого главному идеалу, образованному делителем. В свою очередь, легко проверяется (см. определение главного идеала в §2), что

bRа Rb Ra (3)

Таким образом, мы имеем три формы выражения делимости элементов в кольце:

a, bR, (a|b (b÷a )) (bRа) (Rb Ra) (4)

Цепочка эквиваленций (4) получена соединением (2) и (3). В зависимости от задачи будем пользоваться той или иной формой выражения отношения делимости.

Основные свойства делимости. Пусть R - произвольное кольцо, GR - его мультипликативная группа. Возьмем произвольные элементы а, b. cR, u, v GR. В этих предположениях и обозначениях свойства делимости формулируются так:

(a|b b|c ) a|c (транзитивность делимости) (5)

a|b a|bc (5)

(a|b a|c) a|(b+c) (5)

(a|b a|(b+c)) a|c (5)

((a|b (uGR)) (au)|b (5)

Докажем одно из свойств, например (5). Воспользуемся формализацией (1) определения делимости. В правой части (5) два отношения делимости формализуются, в соответствии с (1), так: u, vR, (b = au) ( b+c = av). Во втором равенстве заменям b его выражением из первого равенства, после чего находим с: c = a(v-u). А это и есть заключение, стоящее в правой части (5).

Определение. Говорят, что кольцо R имеет делители нуля (является кольцом с делителями нуля), если произведение каких либо ненулевых его элементов обращается в нуль:

a, bR (a≠0 b≠0 ab=0) (6)

Если же всегда в кольце R произведение ненулевых элементов не равно нулю, или - что то же самое - произведение двух элементов обращается в нуль лишь когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, то кольцо R называют кольцом без делителей нуля или областью целостности или целостным кольцом. Как следует из предыдущего предложения, целостное кольцо описывается каждой из следующих двух (логически эквивалентных) формализаций: