Основные алгебраические структуры (стр. 14 )

Определение. Группа G называется циклической, если она совпадает с одной из своих циклических подгрупп. Формализация: группа G циклическая, если

аG, а= G (4)

Примеры циклических групп. 1. Формально, взяв в заданной группе G произвольный элемент а, мы построим циклическую подгруппу а группы G и тем самым получим циклическую группу а;

2. Циклическими являются группы:

2. Аддитивная группа Z: Z = 1Z. Элемент 1 - образующий элемент этой группы;

2. Группа G(n,1) комплексных корней n-й степени из 1. На этой группе остановимся чуть подробнее. Формула (6) §7 указывает, что

G(n,1) = (ε) (5)

т. е., G(n,1) - циклическая группа, причем, согласно (7) §7 и (3), имеем:

Or G(n,1) = n (6)

Теорема. 1. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Z;

2. Всякая конечная циклическая группа данного порядка n изоморфна группе комплексных корней n-й степени из 1.

Доказательство. В начале выскажем следующее соображение. В терминологии Замечания, заключающего §6, рассматриваемая Теорема утверждает, что: 1. С точностью до изоморфизма существует лишь одна бесконечная циклическая группа (это - аддитивная группа Z, а любая другая такая группа - это «другой ее экземпляр); 2. Точно та же ситуация реализована при фиксированном натуральном n: с точностью до изоморфизма существует лишь группа G(n,1). Доказательства теорем «единственности с точностью до изоморфизма», - например для групп - реализуются по следующей логической схеме: 1. одна из групп рассматриваемого семейства - обозначим ее через G - выбирается в качестве «эталона»; 2. с этой группой «сравнивается» любаяя другая группа S семейства, а именно устанавливается изоморфизм группы S и «эталона» G; 3. теперь, если S и T - две произвольные группы рассматриваемого семейства групп, то в п.2 установлено наличие изоморфизмов u: S G и v: T G. Но тогда, согласно свойствам 1, 2 §6 изоморфизмов групп, отображение vu: S T так же является изоморфизмом, что и завершает доказательство всякой теоремы «единственности с точностью до изоморфизма». Из изложения этой логической схемы видно, что базисными в ней являются п. п. 1, 2. Если они исполнены, то п. 3 осуществляется автоматически! Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы по изложенной выше схеме.

1. «Эталонной» группой выбирается адитивная группа Z (п. 1 логической схемы реализован). Пусть а - произвольная бесконечная циклическая группа. Это, в частности, означает, что Ora = 0. Зададим отображение u: Z а следующим образом:

nZ, u(n) = а (7)

Проверяем u «на гомоморфизм». Берем n, mZ и находим, согласно (7): u(n+m) = а = аа = u(n)u(m). Т. е., u - гомоморфное отображение аддитивной группы Z в мультипликативную группу а. Применим к u критерий изоморфизма (см. §6). Сюръективность u вытекает из способа его задания (7). Установим инъективность u, т. е. - согласно критерию - тривиальность ядра Keru. По определению ядра Keru = {nZ| u(n) = а = 1}. Поскольку Ora = 0, то а = 1 возможно лишь при n = 0. Т. е., ядро Keru = {0} - тривиально, а значит u - изоморфизм. Тогда u: а Z так же изоморфизм. Тем самым, в этой части теорема доказана.

2. Здесь, при выбранном и фиксированном натуральном n, в качестве «эталонной» выбирается группа G(n,1). В остальном технически доказательство не отличается от части 1 теоремы. (пусть читатель проведет доказательство самостоятельно).

Глава II. Элементы теории колец

§1. Определение, примеры, простейшие свойства колец

Определение. Кольцом называют алгебраическую структуру (R, +, ), где R - множество, «+» и «×» - бинарные операции на нем, назоваемые соответственно сложением и умножением (знак умножения «×» в записях традиционно опускается), обладающую следующими изначальными свойствами (аксиомы кольца):

1. Множество R имеет не менее двух элементов;

2. Аддитивная структура (R, +) является абелевой группой;

3. Мультипликативная структура (R, ×): 1. коммутативна; 2. ассоциативна; 3. имеет единицу; (в этом случае структуру (R, ×) называют (коммутативной или абелевой) полугруппой - в отличие от группы отсутствует требование обратимости любого элемента);

4. Умножение дистрибутивно относительно сложения:

x, у,zR (x(y+z) = xy + xz) (1)

Комментарий. Мы сформулировали определение т. н. коммутативно-ассоциативного кольца с единицей. Именно такие кольца и будут предметом нашего внимания. В общей же теории колец аксима 3 в определении кольца отсутствует, а в аксиоме 4 (конечно, в этом случае она будет аксиомой 3) требуется дистрибутивность умножения относительно сложения как слева, так и справа. В нашем же случае, в силу коммутативности умножения, достаточно требования односторонней дистрибутивности умножения относительно сложения.

Прмеры. 1. Числовые кольца С, R, Q, Z;

2. Из серии числовых колец специально остановимся еще на одном примере - кольце целых гауссовых (гауссовских) чисел. Это - кольцо следующих комплексных чисел: Z[i] = {a+bi| a, b Z, i = -1}. Не представляет затруднений проверить, что Z[i] - кольцо относительно обычных операций сложения и умножения.

3. Кольцо Z - кольцо вычетов целых чисел по модулю m, где m N. Это - интересное кольцо и мы остановимся подробнее на его строительстве. Возьмем фактор-группу Z (см. (10) §4 Главы I):

Z= { Z, Z, . . . , Z} (2)

операция которой задается формулой (11) §4 Главы I:

Z+ Z = Z (3)

На аддитивной группе Z зададим еще одну операцию - умножение - по следующему правилу: