Основные алгебраические структуры (стр. 7 )

На приведенной ниже схеме визуально - в терминах «полосок» - представлены группа G и фактор-группа G: основная горизонтальная полоса - группа G; вертикальные полоски - классы смежности, составляющие фактор-группу G:

G

x

y

1

xy

xH yH H (xy)H

G

Покажем теперь, что G образут группу относительно умножения, задаваемого формулой (8).

1. xH, yH, zH G ((xH)(yH))(zH) = ((xy)H)(zH) = ((xy)z)H = (x(yz))H = (xH)((yz)H) = (xH)((yH)(zH)) - т. е., умножение в G ассоциативно;

Легко проверяемо, что

2. H G (H = 1H!) - единица умножения;

3. (xH) = xH, т. е. любой элемент xH G обратим.

Итак, исходная группа G и ее нормальный делитель H послужили своего рода исходным материалом для «строительства» новой группы G. Построеннная группа G с групповой операцией, заданной формулой (8), называется фактор-группой группы G по ее нормальному делителю H.

Пример. Проинтерпретируем изложенное примером аддитивной группы Z и ее нормального делителя m Z, где mN (см. подробнее §3). Фактор-множество Z конечно (см. (12) §3):

Z= { Z, Z, . . . , Z} (10)

По формуле (8) операция сложения на Z представлена так (опускаем формальности):

Z+ Z = Z (11)

В (11) число k+s, если k+s m, заменяется его остатком от деления на m (см. подробнее §3). Поскольку фактор-группа Z конечна, ее групповая операция (11) представима таблицей Кэли (см. §1). Для большей наглядности выберем m = 6 и построим таблицу Кэли для фактор-группы Z = {Z, Z, Z, Z, Z, Z}:

+ Z Z Z Z Z Z

Z

Z

Z Z Z Z Z Z Z

Z

Z

Z

В выше приведенной таблице выписана строка сумм элемента Z (выбран в столбце) с каждым элементом фактор-группы Z (берутся поочередно из строки). Так, например, таблица демонстрирует: - Z= Z.

§5. Гомоморфизмы групп. Основные понятия, свойства, примеры

Пусть даны две группы G и S. При определенной взаимосвязи между ними свойства одной из них могут переносится (быть может с некоторыми ограничениями) на другую. В качестве одной из базовых взаимосвязей между двумя группами выделяется отношение гомоморфизма.

Определение. Пусть даны две группы G и S. Считаем их мультипликативными. Отображение : G S называют гомоморфным или гомоорфизмом (гр. homo – похожий, подобный, morphe – форма) (группы G в S), если выполняется требование:

х, у G ((ху) = (х) (х)) (1)

Содержание определения гомоморфизма визуально можно продублировать следующей схемой:

G S