Основные алгебраические структуры (стр. 26 )

Контрпример. Рассмотрим кольцо многочленов от нескольких - например от двух - неизвестных над некоторым полем F: F[x, у]. Пусть I - множество всех многочленов из F[x, у], свободный член каждого из которых равен нулю. Не представляет труда проверить, что I <| F[x, у]. допустим, что I - главный идеал и f F[x, у] его образующая: I = (f) = f F[x, у]. Равенство нулю свободных членов многочленов из I указывает на то, что степень всякого ненулевого многочлена из I больше нуля. Рассмотрим теперь многочлены х, уI. Допущение, что I - главный идеал, имеет следствием:

u, vF[x, y], (x = uf) (y = vf) (4)

Так как degf ˃ 0, то равенства (4) имеют следствием: degu = degv = 0, т. е., u, v - скаляры (ненулевые) из F, а значит обратимы. На этом основании равенства (4) дают: y = vuxF[x]. Это в корне противоречит требованиям построения кольца F[x, y], где yF[x]. Полученное противоречие фиксирует то, что кольцо F[x, y] не является кольцом главных идеалов.

Возьмем два идеала aR и bR кольца главных идеалов R. Их сумма (aR) + (bR) и пересечение (aR) (bR) являются идеалами кольца R (см. §2 Главы II, свойства 1, 2 пересечения и суммы идеалов), причем - главными. Это обстоятельство детерминирует особый характер отношения, связи образующих элементов суммы и пересечения идеалов соответственно с образующими слагаемых и сомножителей (для пересечения) в предположении, что ab ≠ 0.

Теорема. В кольце главных идеалов образующий элемент суммы двух идеалов является наибольшим общим делителем образующих элементов слагаемых, а образующий элемент пересечения двух идеалов является наименьшим общим кратным образующих элементов сомножителей.

Формализация теоремы:

a, bR (((aR) + (bR) = (dR)) (d = (a, b))) (5)

a, bR, (((aR) (bR) = (mR)) (m = [a, b])) (6)

Доказательство. Доказательство ведем в предположении ab ≠ 0, чем исключаются тривиальные случаи. Опираемся на определение НОД и НОК элементов (см. §7 Главы II). Подробно разберем случай с НОД (импликация (5)), оставив на самостоятельную проработку случай НОК (импликация (6)). Условие (левая часть) импликации (5) обеспечивает два теоретико-множественных включения: (aR) ( dR) и (bR) (dR), откуда следует, что d D. Первое требование определения НОД выполнено. Далее, если D, то это значит, что (aR) (δR) и (bR) (δR), а потому и (aR) + (bR) = dR (δR), т. е., δ|d - выполнено второе требование определения НОД, чем и подтверждается статус d, зафиксированный в заключении (правая часть) импликации (5).

Замечание. По логическим основаниям и с технической стороны ничто не мешает в формулировке и доказательстве теоремы рассматривать три и более слагаемых (для суммы идеалов) или сомножителей (для пересечения идеалов). Так что считаем, что теорема имеет место для произвольного конечного набора идеалов в R.

Комментарий. Если R - кольцо главных идеалов, то по умолчанию считается, что в R есть эффективные процедуры построения суммы и пересечения двух идеалов, а значит обнаруживаются их образующие элементы. Таким образом, доказанная теорема не только обосновывает существовние в кольце главных идеалов НОД и НОК его элементов, но дает и способ их нахождения.

Обратимся к формуле (5). Детальное прочтение ее левой части позволяет эксплицировать - предъявить явно - один из ее смыслов:

a, bR, (((d = (a, b)) (u, vR (d = au + bv))) (7)

Определение. Запись НОД элементов a, bR в виде d = au + bv называют линейным представлением НОД.

Импликация (7) указывает на то, что в кольце главных идеалов всегда строится линейное представление НОД двух элементов.

На линейном представлении НОД базируется доказательство свойств взаимно простых элементов в кольце главных идеалов.

Теорема. Пусть a, b, c, p - произвольные элементы кольца главных идеалов R, причем p - простой элемент. Тогда

1.  (критерий взаимной простоты):

((a, b) = 1) (u, vR (au + bv = 1)) (8)

2. Если элемент, делящий произведение двух элементов, взаимно прост с одним из сомножителей, то он делит другой сомножитель:

(a|bc) ((a, b)=1) (a|c)) (9)

3. Если каждый и двух взаимно простых элементов делит третий, то и их произведение делит этот третий элемент:

((a, b) = 1) a|c b|c) ((ab)|c) (10)

4. Если элемент взаимно прост с каждым из двух данных элементов, то он взаимно прост и с их произведением:

((a, b) = 1) ((a, с) = 1)) ((a, bс) = 1) (11)

5. Если простой элемент делит произведение двух элементов, то он делит хотя бы один из сомножителей:

p|ab p|a p|b (12)

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть имеет место равенство левой части эквиваленции (8). Это равенство совпадает с равенством левой части импликации (7) при d = 1. Следовательно, имеет место равенство правой части импликации (7) - при d =1, - что совпадает с правой частью эквиваленции (8).

Достаточность. Пусть имеет место равенство правой части эквиваленции (8). Если δD, то - на основании равенства правой части эквиваленции (8) - δD = GR, т. е., D = GR, что означает взаимную простоту a и b (см. §1), т. е., мы пришли к левой части эквиваленции (8).

Техники доказательств свойств 2 – 4 основаны на критерии взаимной простоты элементов (свойство 1) и с этой точки зрения идентичны между собой, поэтому мы ограничимся доказательством одного из этих свойств, например своства 2. Согласно левой части импликации (9) (a, b) = 1, следовательно, в нашем распоряжении имеется равенство в правой части эквиваленции (8). Умножив обе части этого равенства на с, получим

a(cu) + (bc)v = c (13)

Основываясь на первом сомножителе конъюнкции левой части импликации (9), из (13) немедленно получаем ее правую часть.

5. Пусть имеет место левая часть импликации (12). Если p|a, то все доказано. Если же p не делит a, то - согласно Предложению §1 - (p, a) = 1, но тогда - в соответствии со свойством 2 - p|b.