Основные алгебраические структуры (стр. 28 )

Зафиксированный выше статус элемента а позволяет достроить справа конечную возрастающую цепочку идеалов (11) еще одним звеном aR, не нарушая ее «возрастания». В результате последовательно выполняемых, описанных выше шагов мы строим возрастающую последовательность главных идеалов по типу (1), причем получаемая последовательность - бесконечна. Здесь мы вступаем в противоречие с леммой о возрастающей последовательности главных идеалов, что - в итоге - подчиняет исходный составной элемент а аксиоме 1 определения факториального кольца (см. выше).

Продолжим тестирование выбранного нами элемента aR - теперь аксиомой 2 определения факториального кольца. Доказательство единственности разложения а на простые сомножители проведем методом математической индукции по их числу n. Если а - прост, то а = а - искомое разложение, оно - единственное. Итак, для n = 1 требование аксиомы 2 удовлетворено. Допустим, что аксиоме 2 определения факториального кольца подчиняется любой элемент кольца R, хотя бы одним способом разлагающийся в произведение n простых сомножителей. Если выбранный нами элемент а разлагается хотя бы одним способом в произведение n (или меньше) простых сомножителей, то а подчиняется аксиоме 2. Пусть а разлагается в призведение (n+1) сомножителей:

a = pp . . . p (12)

Пусть, наряду с (12), имеется еще одно разложение элемента а в произведение s простых сомножителей

a = qq . . . ,q (13)

Cопоставляя (12) и (13), мы заключаем, что простой элемент p делит произведение qq . . . ,q. Тогда, на основании п.5 Теоремы §4, заключаем, что p делит один из сомножителей этого произведения. Пусть это будет сомножитель q:

q = u p (14)

При этом - в силу простоты как p, так и q - элемент u обратим. Внесем теперь в правую часть (13) q из (14), приравняем полученное произведение к правой части (12) и сократим полученное равенство на p. Получим:

p . . . p= uq . . . ,q (15)

Проанализируем равенство (15). Левая часть (15) состоит из n простых сомножителей. По допущению индукции это - его единственное разложение в произведение простых сомножителей. Но тогда и в правой части (15) столько же простых сомножителей, т. е.. n = s-1. Отсюда n+1 = s, т. е., правый части (12), (13) содержат одно и то же число простых сомножителей, который - при подходящей нумерации - будут ассоциированы. Теорема полностью доказана.

Комментарий. Доказанная теорема указывает на наличие в кольце главных идеалов двух различных эффективных процедур построения НОД и НОК двух элементов: 1) по формулам (16), (19) §2 и 2) по формулам (5), (6) §4.

§6. Евклидовы кольца, основные свойства. Евклидово кольцо как кольцо главных идеалов

Мы рассмотрели два типа колец - факториальные кольца и кольца главных идеалов. Еще один тип колец - это евклидовы кольца. Рассматривается целостное кольцо R и множество натуральных чисел с нулем N.

Определение. Целостное кольцо R назывют евклидовым кольцом, если можно построить отображение φ: R*→N, удовлетворяющее следующим требованиям - аксиомам евклидова кольца:

a, bR* ((a|b) (φ(a) ≤ φ(b))) (1)

aR, bR*, q, rR (a = bq + r), где (r = 0) (φ(r) < φ(b)) (2)

Отображение φ, фигурирущее в определении евклидова кольца, называют евклидовой статмой. Если при заданном bR* элемент а представлен равенством (2), то говорят, что а разделен евклидово или с остатком на bR*. При этом q называют (неполным) частным, a r - остатком от деления a на b.

Примеры. Евклидовыми является (проверить)

1. Кольцо Z. Роль евклидовой статмы выполняет отображение φ:Z→ N, заданное равенством: φ(а) = |а|, где а - любое целое число;

2. Кольцо многочленов F[x] над полем F. Роль евклидовой статмы играет отображение φ:F[x]*→ N, заданное правилом: φ(f) = degf.

Замечание. Из примеров видно, что в отдельных случаях евклидова статма φ может быть определена на всем кольце (пример 1). Главное - статма должна «действовать» на всех ненулевых элементах кольца.

Свойства евклидовых колец. Пусть R - евклидово кольцо, со статмой φ.

1. Значения статмы на ассоциированных между собой элементах совпадают:

a, bR* ((ab(GR)) (φ(a) = φ(b))) (3)

2. a, bR* (((a|b) (φ(a) = φ(b)) (ab(GR))) (4)

Лингвистическая версия свойства 2: если один из двух ненулевых элементов евклидова кольца делит другой и евклидова статма на этих элементах принимет равные значения, то элементы - ассоциированы.

Доказательство. 1. Левая часть импликации (3) фиксирует ассоциированность a и b, т. е., их делимость друг на друга (см. (12) §6 Главы II): a|b b|a. По этому основанию (1) имеет следствием (φ(a) ≤ φ(b)) (φ(b) ≤ φ(a)), откуда следует искомое равенство.

2. Для установления факта правой части импликации (4) - при a|b в левой части - необходимо установить, что b|a. Разделим евклидово a на b. Получим равенство (2), которое, с учетом a|b, имеет следствием а|r. Исследуем возможные исходы для остатка r. Если r ≠ 0, то - на основании аксиомы (1) определения евклидова кольца - факт а|r детерминирует неравенство φ(а) ≤ φ(r), которое - вместе с φ(r) < φ(b) - противоречит равенству левой части импликации (4). Следовательно, единственным исходом для остатка r остается его обращение в нуль: r = 0. Это - на основании равенства (2) - обеспечивает делимость a на b, а значит их ассоциированность.

Следствие (критерий обратимости элемента евклидова кольца). В евклидовом кольце элемент обратим в том и только в том случае, когда значения евклидовой статмы на нем и на единице кольца совпадают:

aR* ((аGR) (φ(a) = φ(1))) (5)