Основные алгебраические структуры (стр. 23 )

Случай ab = 0 тривиален и оставляется для анализа читателю. Исследуем, поэтому, случай ab ≠ 0. Считаем, что хотя бы один из элементов a или b - необратим, ибо в противном случае обратимо произведение ab и левая часть (2) не выполняется. Для определенности пусть оба элемента a и b - необратимы. Разложим каждый из них в произведение простых сомножителей вида (5) §1:

a = pp …p, sN (3)

b = qq…q tN (4)

Затем перемножим эти произведения:

ab = pp …pqq…q (5)

В силу единственности разложений (3) и (4) для a и b их произведение (5) будет единственным искомым разложением произведения ab в произведение простых сомножителей и в этом разложении - согласно левой части (2) - присутствует множитель p. Но это всего лишь означает, что p - это один из сомножителей p из (3) или один из сомножителей q из (4), что формализовано правой частью (2).

2. Необходимость. Пусть реализована левая часть (1), т. е., найден элемент aR такой, что

p = аp (6)

В силу второй аксиомы факториального кольца правая часть (6) - в своем разложении на простые сомножители - совпадает с левой частью, а это возможно лишь в случае, когда элемент а сам является степенью простого элемента p: a = p, где k N. Внося полученное разложение для а в правую часть (6), получим t = s + k, откуда s ≤ k.

Достаточность. Читатель легко установит сам.

Рассматривая делимость элементов факториального кольца, часто удобно представлять их канонические разложения в некоторой, специально организованной записи. А именно, пусть элементы a, bR заданы каноническими разложениями:

a = , s,N (7)

b = , t,N (8)

Построим объединение простых сомножителей q и r элементов a и b:

{q, q, . . . ,q}{r, r. . . .,r} = {p,p, . . . ,p} (9)

По характеру своего построения правая часть (9) получается присоединением к сомножителям q недостающих (отличных от них) сомножителей из числа r или наоборот. Используем сформулированную в предыдущем предложении лингвистическую матрицу для описания следующей процедуры. Дополним правую часть (7) нулевыми степенями простых сомножителей r из (8), не входящих в (7), а правую часть (8) - нулевыми степенями простых сомножителей q из (7), не входящих в (8). В результатае этой процедуры получим разложения для a и b, состоящие из степеней одних и тех же простых элементов p, составляющих правую часть (9), но некоторые p входят в эти разложения фиктивно, т. е, с нулевыми степенями:

, (10)

Определение. Записи (10) элементов a и b, полученные из их канонических записей (7), (8) описанной выше процедурой, будем называть согласованными каноническими записями (представлениями).

Пример. Пусть два целых числа представлены в каноническом виде: a = 37(11), b = 27(11)(13). Согласованными каноническими представлениями a и b будут записи: а = 237(11)(13), b = 237(11)(13). Эти записи составлены из одних и тех же простых сомножителей 2, 3, 7, 11, 13. Сомножители 2 и 13 фиктивно входят в запись числа а, сомножив запись b.

Теорема (критерий делимости элементов факториального кольца). Пусть элементы a и b факториального кольца даны своими согласованными каноническими представлениями (10). Тогда

a|b i = [1,k] ( ≤ ) (11)

Доказательство. Необходимость. Пусть выполняется левая часть (11). Тогда i = 1,k, p|b. Тогда, согласно заключительнлму утверждению §1, выполняется правая часть (11).