Основные алгебраические структуры (стр. 24 )

Достаточность. В силу правой части (11) мы можем представить правую часть второго равенства (10) так:

b = ()() (12)

На основании первого равенства (10) мы усматриваем в первом сомножителе правой части (12) элемент а, что утверждает левую часть (11).

Займемся поисками формул НОД и НОК двух элементов факториального кольца. Итак, пусть элементы a и b факториального кольца R даны своими согласованными каноническими разложениями (10) и пусть D, который мы так же запишем в согласованном с a, b каноническом виде

= (13)

Нам надлежит установить значения показателей степеней , при которых общий делитель элементов a и b становится их наибольшим общим делителем. Согласно критерию делимости (11) показател степеней из (13) подчиняются неравенствам

i = [1,k] (≤) ( ≤ ) (14)

Неравенства (14) рассматриваются в системе, решения которой задаются неравенствами:

i = [1,k] , ≤ min{, } (15)

Внимательный анализ (15) - в том числе с позиций критерия делимости (11) - указывает на два обстоятельства: 1. элемент d = D; 2. D, |d. Но эти два условия есть факт проверки элемента d на статус НОД элементов a и b, и d эту проверку выдержал. Таким образом, нами получена формула НОД двух элементов факториального кольца, заданных своими согласованными каноническими разложениями:

(,) = (16)

Пусть теперь ищется НОК элементов a и b факториального кольца R. Как и выше считаем, что a и b заданы своими согласованными каноническими разложениями (10). Пусть k (aRbR) (см. (4) §7 Глава II). Запишем s в согласованном с a и b каноническом виде:

s = (17)

Нам, как и в случае с НОД, надлежит установить значения показателей степеней , при которых общее кратное s элементов a и b становится их наименьшим общим кратным. Согласно критерию делимости (11) показателей степеней из (17) подчиняются неравенствам

i = [1,k] ( ≥ ) ( ≥ ) (18)

Неравенства (18) рассматриваются в системе, решения которой задаются неравенствами:

i = [1,k] , ≥ max{, } (19)

Внимательный анализ (19) - в том числе с позиций критерия делимости (11) - указывает на два обстоятельства: 1. элемент s = (aRbR); 2. t (aRbR), s|t. Но эти два условия есть факт проверки элемента s на статус НОК элементов a и b, и s эту проверку выдержал. Таким образом, нами получена формула НОК двух элементов факториального кольца, заданных своими согласованными каноническими разложениями:

[,] = (20)

Замечания. 1.Если в произвольном целостном кольце (см. §7 Глава II ) рассуждения о НОД и НОК носили скорее гипотетический характер, то формулы (16), (20) являют собой эффективный инструмент фактического построения НОД и НОК элементов факториального кольца.

2. Если адаптировать формулы (16) (для НОД) и (20) (для НОК) к кольцу Z (в нем можно ограничиться натуральными числами), то в надлежащей лингвистической версии этих формул мы без труда узнаем правила нахождения НОД и НОК натуральных чисел, излагаемых в школьном курсе математики.

3. Формулы (16), (20) получены для двух элементов. Основываясь на определении НОД и НОК и формулах (3), (6) §7 Главы II, не представит труда распространить эти формулы на три и более элементов, заданных в согласованных канонических записях.

Формулы (16), (20), аппелирующие к согласованным каноническим разложениям, удобны и как инструмент доказательства свойств НОД и НОК в факториальных кольцах.

§3. Свойства взаимно простых элементов в факториальных кольцах.

Рассматриваемые ниже элементы факториального кольца даются - при необходимости - в согласованных канонических разложениях, что фиксируется формулировками свойств или в доказательствах.

Теорема. 1. (Критерий взаимной простоты элементов). Пусть элементы a и b факториального кольца R, заданны своими согласованными каноническими записями (10). Тогда:

((a, b) = 1) (i = [1,k] ( = 0)) (1)

2. Произведение НОД двух элементов на их НОК совпадает (точнее - ассоциировано) с их произведением. Формализация:

(a, b)[a, b] = ab (2)

3. Если элемент, делящий произведение двух элементов, взаимно прост с одним из сомножителей, то он делит другой сомножитель. Формализация:

a, b,cR, ((a|bc) ((a, b)=1) (a|c)) (3)

4. Если каждый издвух взаимно простых элементов факториального кольца делит третий, то и их произведение делит этот третий элемент. Формализация:

a, b,cR, ((a, b) = 1 a|c b|c) ((ab)|c) (4)