Основные алгебраические структуры (стр. 22 )

Пример. Из школьного курса математики известно о (в новой терминологии) факториальности кольца Z. На этом примере довольно прозрачно прочитываются аксимы факториального кольца, особенно аксиома 2. Так, например, число 215061 не единственным способом разлагается на простые сомножи= 3×7×7×7×11×19 = (-7)×3×7×(-7)×19×11 = 11×(-7)×19×(-7)×7×3 и т. д. Но все эти разложения подчиняются аксиоме 2 и формально регулируются соотношениями (7), (8).

Пусть дано факториальное кольцо R. Берем ненулевой и необратимый элемент aR и разлагаем его в произведение (5) простых сомножителей. В наборе простых сомножителей

p, p, …, p (9)

могут быть ассоциированные между собой сомножители. Выделим из (9) группы попарно ассоциированных сомножителей. Поступим следующим образом. Отберем из (9) все попарно неассоциированные элементы. Пусть, для определенности, это будут элементы

p, p, …, p, k s (10)

Теперь, из оставшихся элементов

p, . . . , p (11)

набора (9) отберем все элементы, ассоциированные элементу p. Пусть их число - вместе с p - равно i. Ясно, что i может равняться 1, что означает отсутствие среди элементов (11) ассоциированных с p. Каждый такой элемент отличается от p обратимым сомножителем. Поэтому, если в правой части (5) перемножить p и все ассоциированные с ним, то получим i-ю степень p, умноженную на некоторый обратимый элемент:

u p, где uGR (12)

Далее, по этой же схеме из оставшихся сомножителей (11) отберем ассоциированные элементу p, число которых - вместе с p - обозначим через i. Затем - по шаблону (12) для p - сконструируем произведение

u p, где uGR (12)

Последовательно применяя описанную схему к оставшимся сомножителям p, …, p из числа (10), мы получим степени типа (12), последней из которых будет степень (произведение p и элементов из (11), ассоциированных ему):

u p, где uGR (12)

Таким образом, каждая из степеней (12) - это произведение всех сомножителей из совокупности (9), попарно ассоциированных между собой, умноженное на некоторый обратимый элемент. Следовательно, результатом последовательности выполненных выше шагов будет новая редакция разложения (5):

a = (u p)( u p) . . . (u p) (13)

или

a = upp . . . p = u, (14)

где

u = GR (15)

Определение. Представление (запись) ненулевого, необратимого элемента а факториального кольца R в виде (14) (произведение натуральных степеней всех попарно неассоциированных делителей а и некоторого обратимого элемента) называется каноническим разложением (представлением) элемента а.

Замечание. Нас интересуют вопросы делимости элементов в факториальном кольце. С этой точки зрения отношение делимости сохраняется, если один или оба элемента, связанные этим отношением, заменяются им ассоциированными. Поэтому в дальнейшем, записывая каноническое разложение (14) элемента а, мы будем опускать обратимый сомножитель u.

Сущность канонического разложения элемента имеет следствием достаточно очевидное утверждение: Если p - простой элемент факториального кольца R и p|a, то в каноническое разложение элемента а простой элемент p входит с показателем степени s не меньшим чем k: k ≤ s.

.

§2. Делимость, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное элементов в факториальном кольце

Здесь и ниже R - факториальное кольцо.

Свойства (особенности) делимости в факториальном кольце

1. Если простой элемент факториального кольца делит произведение двух или более элементов, то он делит хотя бы один из сомножителей;

2. Пусть p - простой элемент кольца R, s, t N. Тогда

p|p s ≤ t (1)

Доказательство. 1. Формализуем и докажем свойство для случая двух сомножителей. Надлежит доказать:

a, b,pR (((p - простое) (p|ab)) ((p|a) (p|b))) (2)