Основные алгебраические структуры (стр. 21 )

По отношению к НОК имеют место свойства, аналогичные (дуальные) свойствам 1 – 3 НОД. 1. Если НОК элементов a, bR существует, то он единственен с точностью до ассоциированных. Т. е., любые два различных значения НОК этих элементов ассоциированы между собой;

Замечание. На основании этого свойства мы будем считать НОК двух элементов фиксированным, т. е. в качестве НОК выбирается одно из возможных ассоциированных между собой его значений. Это соглашение отражено в формулировке следующих свойств НОК.

2. a, bR ((a|b) ([a, b] = b)) (5)

3. Если для трех элементов a, b,cR существуют НОКи [a, b], [[a, b],c], [a, b,c] то

[a, b,c] = [[a, b]c] (6)

Доказательство свойств 1 – 3 НОК основано на свойствах делимости, Определении НОК и по логическим основаниям, технике исполнения практически не отличается от доказательства свойств НОД. Поэтому детальная реализация доказательств оставляется читателю.

Глава III. Основные типы колец

§1. Простые и составные элементы кольца. Факториальные кольца. Каноническое разложение элемента факториального кольца

Пусть R - целостное кольцо. Возьмем произвольный элемент a этого кольца и рассмотрим множество D его делителей. Заметим, что всегда

(GR D) (aGR D) (1)

Два соотношения (1) можно заменить одним:

aR ((GR aGR) D) (2)

Мы озабочены выяснением «качественного» состава D. По этой причине сразу исключаем из рассмотрения а = 0 и обратимые элементы а. В первам случае D = R, а во втором - D = GR. В обоих случаях состав D известен. Формула (2) подводит к следующим рассуждениям и умозаключениям. Множество D делителей элемента а: 1. исчерпывается делителями из GR aGR; 2. кроме делителей из GR aGR содержит другие делители. Это обстоятельство отражено в следующем определении.

Определение. Ненулевой и необратимый элемент a кольца R называют простым, если его делителями являются лишь обратимые и ассоциированные с ним элементы из R. Если же а имеет - кроме названных - другие делители, его называют составным элементом.

С учетом рассуждений, предваряющих это определение, формализованные версии определения простого и составного элементов могут быть представлены так (a ≠ 0, a – необратим):

(aR является простым) (D = (GR aGR)) (3)

(aR является составным) (D(GR aGR)) (4)

Належит заметить, что в правой части (4) включение - строгое.

Примеры. 1. В кольце Z элементы 2, -3 - простые, -10, 6 - составные; 2. В кольце Z[i] элемент -3 - простой, а элемент 2 (внимание!) - составной. Действительно, числа (1±i)D, 1±i(GZ[i] 2GZ[i]). Иными словами, этот пример описывается правой частью (4), т. е., подпадает под определение сосоставного элемента.

Комментарий. Пример 2 указывает на относительность понятий простого или составного элемента. Эти понятия конкретизируются при указании кольца, в котором лежит этот элемент.

Теорема. Оба ассоциированных друг друга элемента кольца одновременно простые или составные, если таков один из них.

Доказательство теоремы не представляет затруднений и оставляется читателю.

Введем определение и укажем важное для дальнейшего свойство простых элементов.

Определение. Элементы a и b целостного кольца R называются взаимно простыми, если их НОД обратим: (a, b) = 1.

Предложение. Пусть p, аR, из них p - простой. Если pD (p не делит а), то р и а взаимно просты: (p, a) = 1.

Доказательство. Действительно, согласно (3) D = (GR pGR). Поскольку pD, то pGR D, следовательно D = D D = GR. Согласно (1) §7 это и означает, что (p, a) = 1.

Определение. Целостное кольцо R назывют факториальным, (англ. (мат.) factor - множитель), если всякий его ненулевой и необратимый элемент а наделен свойствами (аксомы факториального кольца):

1. а хотя бы одним способом разлагается в произведение простых элементов кольца R;

2. разложение а в произведение простых сомножителей, указанное в аксиоме 1, единственное с точностью до ассоциированных сомножителей и их порядка.

Если аксиома 1 Определения достаточно прозрачна, то аксиома 2 нуждается в Разъяснении. Имеется в виду следующее. Пусть мы имеем два разложения элемента аR в призведение простых элементов:

a = pp …p, sN (5)

a = qq…q tN (6)

Тогда обязательно число простых сомножителей p и q в правых частях (5) и (6) одинаково

s = t (7)

и, при надлежащей их (простых сомножителей) нумерации (перенумерации) простые сомножители p и q с одинаковыми номерами - ассоциированы:

pqGR, i=1, … , s (=t) (8)