Основные алгебраические структуры (стр. 13 )

Основное свойство порядка элемента. Пусть aG - элемент конечного порядка. Тогда

n Z, (а = 1) (n 0 (modOra)) (9)

Доказательство. Необходимость. Пусть n Z таково, что

а = 1 (10)

Разделим n с остатком на Ora:

n = (Ora)q + r, 0 r < Ora (11)

Внесем в левую часть (10) n из (11) и выполним, опираясь на (2), ряд тождественных преобразований (помним, что в результате должны получить 1 - правую часть (10)):

а = a = aa = (a)a = a = 1 (12)

Но a = 1 имеет единственное - в силу (8) - следствие: r = 0. Тогда из (11) следует, что n(Ora) (или (Ora)|n, что то же самое), а это и есть правая часть эквиваленции (9).

Достаточность. Выполнимость сравнения в правой части эквиваленции (9) в иной интерпретации означает, что n делится на Ora без остатка, т. е., в (11) r = 0. Тогда вычисляем а с учетом (11) при r = 0. Результат - а = 1. Требуемое - доказано.

Следствие 1. Пусть aG - элемент конечного порядка. Тогда

m, n Z ((a = a) (m n (modOra))) (13)

Доказательство почти очевидно: делим обе части равенства (в левой части эквиваленции) (13) на a, а затем к результату деления применяем основное свойство порядка.

Следствие 2. У элементов конечного порядка группы и только у них имеются совпадающие степени с различными показателями степеней:

((aG)(OraN)) ( m, nZ (a = a)) (14)

Доказательство. 1. Если aG - элемент конечного порядка, то, например, mZ, a = a (= 1).

2. Обратно, если для различных m, nZ (пусть m>n) a = a, то а = 1 и а - элемент конечного порядка (см. (4)).

Очевидно, что следствию 2 логически эквивалентно утверждению:

Следствие 3. У элементов нулевого порядка группы и только у них степени с различными показателями степеней различны:

((aG)(Ora = 0)) ( m, nZ ((m ≠ n) (a ≠ a))) (15)

Возьмем элемент аG и построим множество всех его целых степеней:

а = {a| nZ} (16)

Следстия 1-3 дают онование утверждать, что если OraN, то множество а - конечно, причем можно выписать все его элементы:

а = {a=1, a, a. . . , a} (17)

Если же аG - элемент нулевого порядка - Ora = 0, - то множество а бесконечно.

§8. Циклические подгруппы и группы

Пусть G - произвольная группа. Возьмем аG и построим множество всех его целых степеней ((16) §7):

а = {a| nZ} (1)

Применение к а критерия подгруппы (см. (1) §2, использовать так же основное свойство степеней (2)) приводит к выводу:

а< G (2)

Определение. Подгруппа а группы G, построенная вышеуказанным способом, называется ее циклической подгруппой. Элемент а называют ее образующим элементом (или - образующей).

Согласно заключительным выводам §7 циклическая подгруппа а группы G конечна, если а - элемент конечного порядка и бесконечна в противном случае. Причем, согласно (17) §7, в первом случае Orа = Ora. Этот факт формализуется следующим образом:

G, OraN Orа = Ora (3)