Основные алгебраические структуры (стр. 25 )

5. Если в факториальном кольце элемент взаимно прост с каждым из двух данных элементов, то он взаимно прост и с их произведением. Формализация:

a, b,cR ((((a, b) = 1) ((a, с) = 1))) ((a, bс) = 1))) (5)

Доказательство. 1. Воспользуемся формулой (16) §2. Согласно левой части эквиваленции (1), все показатели степеней min{,} = 0, что возможно в том и только в том случае, когда при любом i хотя бы один из показателей или (в нашем контексте - точно один) равен нулю, что эквивалентно правой части (1).

2. Доказательство основано на простом замечании: для любых двух чисел α,βN, α + β = min{α, β} + max{α, β}. Основываясь на этом замечании, на основании формул (16), (20) §9 получаем требуемое:

(a, b)[a, b] = ()() = = = ab (6)

3. Запишем элемент с в согласованной с a и b канонической форме (см. (10)§9):

с = (7)

Тогда мы можем записать в каноническом виде произведение bc:

bc = (8)

Левая часть импликации (3) - на основании признака делимости и критерия взаимной простоты - означает:

i = [1,k], ((α ≤ β+γ) (αβ = 0)) (9)

Равенство αβ = 0 имеет два основных исхода: α= 0, а значит α ≤ γ или β = 0 и вновь α ≤ γ. По критерию делимости α < γ обеспечивает выполнимость правой части импликации (3).

4. Пусть элементы a, b,cR даны в согласованных канонических разложениях (10) §2 и (7). Ясно, что согласованная каноническая запись произведения ab имеет вид:

ab = (10)

Cогласно критериям делимости и взаимной простоты, левая часть (4) может быть записана в виде:

i = [1,k],((( = 0) (α ≤γ)) (β≤γ)) (11)

Заметим, что равенство = 0 может быть эквивалентно переформатировано так:

i = [1,k], (( = 0) (( + = ) ( + = ))) (12)

В обоих случаях правой частью (12), согласно правой части (11) и на основании критерия делимости, обеспечено условие выполнимости правой части импликации (4).

5. Пусть элементы a, b,c, bcR даны в согласованных канонических разложениях (10) §2, (7), (8). Тогда левая часть импликации (5) в терминах критерия взаимной простоты запишется так :

i = [1,k], ((β = 0) (γ = 0)) (13)

Сложив равенства (13), мы получим в качестве следствия:

i = [1,k], ((β + γ) = 0) (14)

Вывод (14) - в терминах критерия взаимной простоты элементов - есть нечто иное, как правая часть импликации (5).

Комментарий. Пункт 2 Теоремы указывает, что знание НОД или НОК двух элементов факториального кольца позволяет найти - соответственно - их НОК или НОД. С другой стороны это свойство (равенство (2)) порождает еще один - наряду с (1) - критерий взаимной простоты элементов в факториальном кольце:

((a, b)=1) ([a, b] = ab) (15)

§4. Кольца главных идеалов. НОД и НОК в кольце главных идеалов

Определение. Целостное кольцо R называют кольцом главных идеалов, если любой идеал этого кольца является главным.

Примеры. 1. Всякое поле F, имея лишь два (тривиальных) идеала (0) = 0F и (1) = 1F, является кольцом главных идеалов;

2. Кольцо Z. Возьмем произвольный идеал I кольца целых чисел Z. Пусть I отличен от нулевого и единичного идеалов (являются главными - см. §2 Главы II). Обозначим через m наименьшее положительное число из I:

m = min I (1)

Разделим теперь произвольное число х I на m с остатком

х = mq + r, где 0 ≤ r < m (2)

Поскольку I <| Z, то - на основании (2) - заключаем:

r = x – mq I (3)

Если теперь допустить, что в (2) r ≠ 0, то на основании (3) мы вступаем в противоречие с (1). Следовательно, из всех версий (2) для r остается единственная: r = 0. Это означает, что число х кратно m, а так как х - произвольный элемент из I, то мы установили, что I = m Z - главный идеал. Итак Z - кольцо главных идеалов.