Основные алгебраические структуры (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. КОЗЬМЫ МИНИНА»

ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

Учебно-методическое пособие

Нижний Новгород

2013

Печатается по решению редакционно-издательского совета НГПУ им. Козьмы Минина

Основные алгебраические структуры: Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по направлению 050100 «Педагогическое образование», профиль «Математика».

Введение

Подлежащий изучению раздел алгебры являет собой ее сердцевину, основу. Современные развитые алгебраические формы знания изучают т. н. алгебраические структуры. Это, прежде всего, группы, кольца, поля, векторные пространства. В настоящем разделе систематически изучаются основы первых двух из перечисленных структур. Алгебраической, общематематической базой развертывания содержания является теория множеств, бинарных отношений, теория матриц и определителей и, конечно, школьный курс математики.

Используются следующие обозначения:

С, R, Q, Z, N - множества, соответственно, комплексных, вещественных (действительных), рациональных, целых и натуральных (без нуля) чисел. Иногда удобно включать в состав натуральных чисел нуль. Тогда мы используем обозначение N;

С*, R*, Q*, Z* - множества соответствующих чисел (см. выше) без нуля. Например, С* = С \ {0};

R, Q, Z - множества соответствующих (см. выше) положительных чисел.

Глава I. Элементы теории групп

§1. Определение, примеры, простейшие свойства групп

Определение. Группой называют непустое множество G вместе с заданной на этом множестве бинарной (групповой) операцией (G вместе с операцией - алгебраическая структура (G,)) , удовлетворяющей следующим требованиям (аксиомы группы): групповая операция

1. ассоциативна, т. е.

x, y,z G x(yz) = (xу)z (1)

2. имеет нейтральный элемент, т. е.

i G, x G ix = xi = x (2)

3. всякий элемент из G симметризуем относительно групповой операции, т. е.

x G х' G хх' = х'х = i (3)

Элемент xу называют композицией элементов x и у. Если, к тому же, групповая операция коммутативна, т. е.

x, y G xy = ух, (4)

то группу G называют коммутативной или абелевой (по имени норвежского математика Нильса Хенрика Абеля (1802 – 1829 г. г.), систематически изучавшего такие группы).

Следствие. Элемент х' называют симметричным для х. Из равенства (3) непосредственно усматривается, что

(х') ' = х. (5)

Замечание. Исторически основы современной версии математического знания закладывались в Западной Европе, в средневековых европейских университетах, где науки преподавались на интернациональном для того времени латинском языке, послужившем основой для английского, французского, итальянского и многих других современных европейских языков. Отсюда и многие математические термины имеют латинское происхождение. Через латинский и современные западноевропейские языки математическая терминология вошла в другие языки, в частности в русский язык. С учетом этого становятся понятными не только русскоязычная версия большинства математических терминов, но и использумые, наиболее употребительные обозначения, часто являющиеся первыми буквами соответствующих терминов в латинской версии или в одном из современных европейских языков. Так, например, используемое для группы обозначение G - это первая буква английского слова Group - группа (ср. в немецком, например, - Gruppen). В этом контексте F - стандартное обозначение поля (англ. - field), буквой R обозначается кольцо (англ. – ring). В дальнейшем, намереваясь прояснить источник того или иного математического термина, понятия, обозначения мы будем апеллировать к английскому языку.

Очень часто в конкретных случаях групповая операция группы G называется одним из наиболее распространенных для этого терминов - сложением или умножением и соответственным образом обозначается: + или . При этом знак умножения, как правило, не пишется. Соответсвенно переименовываются и переобозначаются композиция элементов, нейтральный и симметричный элементы: сумма, нуль 0 и противоположный - х - для сложения и произведение, единица 1 и обратный х - для умножения. Для точного, однозначного понимания какое из этих названий выбрано для групповой операции, группу G называют соответственно аддитивной (англ. add – складывать, прибавлять, additive - относящийся к сложению) или мультипликативной (англ. multiply - умножать, multiplicative - относящийся к умножению). Для удобства и в общей теории групп часто прибегают к соглашению считать рассматриваемую группу мультипликативной.

Примеры групп. 1. Числовые группы - группы, образованные различными множествами чисел, как правило мультипликативные или аддитивные: так аддитивными являются группы С, R, Q, Z; мультипликативными - группы С*, R*, Q*, R, Q. Сюда же относится важный пример мультипликативной группы корней n-й степени из единицы:

G(n,1) = { С| = 1, n N} (6)

Все эти группы - абелевы.

2. Полная линейная группа n-го порядка над полем F - это мультипликативная группа невырожденных (обратимых) n-матриц с элементами из поля F:

GL(n, F) = {AM(F)| DetA ≠ 0} (7)

Здесь M(F) - множество всех квадратных n-матриц с элементами из поля F. При n > 1 группа GL(n, F) некоммутативна.

3. Симметрическая группа n-й степени S, где n N. Это группа подстановок n-й степени S (англ. substitute - подставлять, substitution – подстановка), т. е., мультипликативная группа биективных отображений множества первых n натуральных чисел (или любого n-элементного множества) на себя. Групповой операцией здесь является умножение подстановок, понимаемое как их композиция (суперпозиция) - последовательное их выполнение в предписанном порядке. При n > 2 симметрическая группа S некоммутативна.