Основные алгебраические структуры (стр. 17 )

Определение. Построенное выше кольцо (R/, +, ) называется фактор-кольцом кольца R по идеалу I.

Замечания. 1. В §1 нами - в качестве примера - построено кольцо Z. Сравнивая процедуру построения кольца Z с процедурой построения фактор-кольца R/ мы видим, что эти процедуры логически идентичны: кольца построены по одному логическому стандарту. Следовательно, мы можем отметить, что кольцо Z - это фактор-кольцо кольца Z по (главному) идеалу mZ.

2. Это замечание носит методологический характер, т. е., касается способов, логических оснований построения и изучения различных разделов алгебры - в данном случае вопросов теории групп и теории колец. Следует обратить внимание на некоторое сходство подгрупп и нормальных делителей группы с одной стороны с подкольцами и идеалами кольца - с другой. В частности, нормальные делители группы позволяют - по определенной схеме (см. §4 Главы I) - строить новые фактор-группы, а идеалы - по той же схеме (см. наст. §3 и ср. с §4 Главы I) - позволяют строить фактор-кольца. Отмеченное сходство колец - сходство с гомоморфизмами и изоморфизмами групп - проявляет себя и при рассмотрении изоморфизмов и гомоморфизмов.

§4. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец

Пусть даны два кольца R и S. Считаем, что кольцевые операции в обоих кольцах одинаково обозначены: «+» и «×».

Определение. Отображение : R S кольца R в S называют гомоморфным или гомоморфизмом, если

x, yR, (x+y) = (x) + (y) (1)

x, yR, (xy) = (x)(y) (2)

(1) = 1 (3)

Комментарий. Первое условие кольцевого гомомоморфизма - это гомоморфизм аддитивной группы кольца R в аддитивную группу кольца S (см. §5 Главы I). По умножению кольцо - не группа, поэтому, наряду с формально «гомоморфичным» условием (2), требуемым от умножения, дополнительно налагается условие (3).

Пример. Пусть R - произвольное кольцо и I - его идеал (см. (1) §3). Построим фактор-кольцо R/ кольца R по идеалу I (см. (2) §3; операции задаются формулами (3), (4) §3). Зададим отображение : R R/ по правилу:

xR, (x) = x+I (4)

Контекст построения фактор-кольца R/ (см. §3) показывае что : R R/ - гомоморфизм. Более того, это - сюръективный гомоморфим. Так построенный гомоморфизм кольца R на фактор-кольцо R/ называют каноническим.

Замечание. Канонический кольцевой гомоморфизм, - если его ограничить на аддитивную группу кольца, - есть канонический групповой гомоморфизм (см. Пример 3 §5 Главы I).

Определение. Изоморфизмом или изоморфным отображением кольца R на кольцо S называют биективный гомоморфизм. Т. е., к условиям (1) - (3) определения гомоморфизма добавляется условие его биективности.

Следующие понятия, свойства, теоремы, касающиеся кольцевых гомоморфизмов и изоморфизмов, по своей форме и логическим основаниям повторяют этот же контекст, уже изложенный для групп (см. §5, 6 Главы I). Поэтому, мы представим заявленное конспективно, обзорно, оставляя необходимые выкладки для самостоятельной проработки.

Определение. Пусть : R S - гомоморфизм кольца R в кольцо S. Образ кольца R в кольце S относительно называют образом гомоморфизма и обозначают Im, а полный прообраз нуля из S относительно называют ядром гомоморфизма и обозначают Ker:

Im (R) = {(x)‌| xR} S, (5)

Ker (0) = {xR| (x) = 0} R (6)

Свойства гомоморфизмов колец. 1. Если R, S и T - три кольца, а : R S и : S T - гомоморфизмы, то их композиция : R Т - так же гомоморфизм;

2. Если : R S - гомоморфное отображение кольца R в кольцо S, то Im < S и Ker <‌‌‌‌‌| R.

Свойства изоморфизмов колец. 1. Если f: R S - изомоморфизм кольца R на кольцо S, то f: S R - так же изоморфизм;

2. Гомоморфное отображение : R S кольца R в кольцо S является изоморфизмом в том и только в том случае, если Im = S (сюръективность ) и Ker = {0} (тривиальность ядра, что равносильно инъективности );