Основные алгебраические структуры (стр. 2 )

4. Различные группы преобразований на плоскости: группа движений, группа подобий евклидовой плоскости и т. д.

Если группа G конечна, то число ее элементов называют ее порядком и обозначают |G| или OrG (англ. order – порядок). Так, в приведенных выше примерах конечными будут группы G(n,1) и S, причем OrG(n,1) = n, OrS = n!. В принципе групповую операцию конечной группы можно задать (представить) квадратной таблицей, где слева по вертикали и вверху по горизонтали выписаны все элементы рассматриваемой конечной группы G. Выбирая первый элемент в вертикали, а второй - в горизонтали, на их пересечении выписывают их композицию. Такую таблицу, задающую групповую операцию, называют таблице Кэли (Кэли Артур (1821-1895) - английский математик, ввел в оборот такие таблицы) Так, например, считая конечную группу G = {a,a,…,a} мультипликативной, ее таблица Кэли в общем сучае будет устроена (выглядеть) следующим образом

a, a, ……….a,………,a

a .

a .

. .

.

. .

a - - - - - - - - - aa (8)

.

.

.

a

В дальнейшем, если не оговорено иное, рассматриваемые группы считаются мультипликативными.

Теорема. В произвольной группе G:

1. единица единственна;

2. элемент, обратный данному, единственен;

3. если группа G не абелева, то

x, yG, (xy) = yx (9)

4. x, y,zG, xz = yz (или zx =zy) x=y (10)

Доказательство. 1. Допустим, что в группе G имеется по крайней мере две единицы - 1 и 1*. По аксиоме для единицы (равенство (2) определения группы) имеем, поочередно для 1 и 1*: 11* = 1* = 1, что и доказывает требуемое.

2. Пусть для некоторого aG найдено два обратных элемента - b и c. Следовательно, мы можем записать: ab =1 и са =1. Используя теперь равенства (3), мы, выполнив вполне очевидные преобразования, получим b = 1b= (ca)b = c(ab) = c1 = c, т. е b = c. Утверждение доказано.

3. Проверьте прямым вычислением, что элемент yx является обратным для ху.

4. Умножим обе части равенства xz = yz (zx =zy) справа (слева) на z и получим требуемое. Это свойство называют свойством сократимости равенства в группе соответственно справа или слева на один и тот же элемент.

§2. Подгруппы, примеры, критерий подгруппы

Определение. Говорят, что непустое подмножество HG группы G является ее подгруппой, если множество H само является группой относительно групповой операции исходной группы G. Тот факт, что H - подгруппа группы G мы будем обозначать так: H < G.

Пример. Подмножества E = {1}, G - подгруппы группы G (проверка - по определению - достаточно тривиальна). Эти подгруппы группы G назывют ее несобственными подгруппами.

Установить, будет ли HG подгруппой группы G, можно по определению. Часто, однако, удобнее пользоваться другим инструментом - критерием подгруппы.

Теорема (критерий подгруппы). Пусть HG – непустое подмножество группы G. Тогда

(H < G) (x, y H, xy H) (1)

Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место левая часть эквиваленции (1). Тогда, выбрав x, y H, мы, по третьей аксиоме группы (равенство (3) §1), получим, что x H, а значит и xy H, т. е., имеет место правая часть (1).

Достаточность. Пусть для непустого подмножества HG реализована правая часть (1). Выполним последовательно несколько логических шагов. Возьмем x H. Второй элемент у выберем равным х: у = х. Тогда правая часть (1) примет вид: xy = xх = 1 H. Следовательно, 1 H. Далее, по-прежнему выберем x H, а в качестве второго элемента у H возьмем 1 (ведь мы установили, что 1 H!). Следовательно, имеем право на утверждение: x1 = x H. Итак, вместе с каждым элементом xH обратный ему x H. Выделим теперь x, y H. Мы знаем, что хH. Теперь для элементов x,y H мы можем утверждать, что (x)y = ху H. Итак, x, y H, ху H. Иными словами, подмножество HG замкнуто относительно групповой операции исходной группы G. Заметим, что это - результат третьего из заявленных шагов. Результаты первых двух - это фиксация выполнения для операции умножения на H второй и третьей аксиом группы. Выполнение первой аксиомы группы становится очевидным, ибо свойство ассоциативности групповой операции, реализованное на всей группе G, конечно же реализовано и на любой ее части, одной из которых является H. Теорема доказана.