Основные алгебраические структуры (стр. 3 )

Замечание. Обозначим через HH множество: HH = { xy| x, y H}. Тогда легко видеть, что логическая конструкция «x, y H, xy H» в правой части эквиваленции (1) идентична по смыслу теоретико-множественной конструкцией «HHH». Следовательно, критерий подгруппы (1) в иной - теоретико-множественной - редакции выглядит так:

(H<G) (HHH) (2)

Приведем дополнительные примеры подгрупп, уже с использованием критерия подгруппы. На некоторых примерах, важных для дальнейшего, остановимся чуть подробнее. 1. Рассмотрим аддитивную группу Z. Возьмем произвольное mN. Обозначим через mZ множество всех целых чисел, кратных m: mZ = {mt| tZ}. Элементарно по критерию подгруппы устанавливается, что mZ < Z.

2. Рассмотрим полную линейную группу GL(n, F). Отберем из нее матрицы с единичным определитетем: SL(n, F) = {A GL(n, F)| DetA = 1} GL(n, F). Педантично применим к SL(n, F) критерий подгруппы. Зададимся произвольными матрицами A, BSL(n, F) (т. е., DetA = DetB =1). Согласно правой части (1), адаптированной к нашему примеру, нужно установить, что AB SL(n, F). Для этого необходимо найти Det(AB) и убедиться, что он равен 1 (характеристическое свойство матриц, составляющих SL(n, F)). Находим: Det(AB) = Det(A) DetB = Det(A) DetB = 11 = 1. Итак, критерий удовлетворен, следовательно SL(n, F)<GL(n, F). Группу SL(n, F) называют специальной линейной группой (n-матриц над полем F).

3. В симметрической группе S отберем подстановки со знаком «плюс»: А = { S| sign = 1} S (в обозначении А буква А - от англ. alternate – чередовать(ся)). Процедура применения к А критерия подгруппы формально не отличается от процедуры, реализованной в примере 2. Мы ее опускаем и сразу фиксируем, что А< S.

4. Группа G(n,1) является подгруппой группы C*: G(n,1) < C*.

5. Пусть G - произвольная группа и {H| H<G} - любое семейство ее подгрупп, где индексы , помечающие подгруппы H, образуют некоторое множество А. По критерию подгруппы легко устанавливается, что (H) < G. Лингвистическая редакция этого свойства следующая: пересечение любого семейства подгрупп данной группы является ее подгруппой.

§3. Левая и правая смежности на группе, порожденные подгруппой. Классы смежности, их строение

Пусть в группе G выделена произвольная подгруппа H.

Определение. Бинарные отношения L и R на группе G, задаваемые посредством H соотношениями

xLy xyH

х, уG (1)

xRy xyH

называются, соответственно, левой (англ. left – левый) и правой (англ. right - правый) смежностями. Соответственно будем говорить, что (в группе G) элемент х лево или право смежен элементу у (по подгруппе H).

Комментарий. В соотношении (1) использован символ эквиваленции со значком вверху. Иногда мы будем пользоваться таким способом визуализации, формализации формулируемого или сформулированного перед этим определения (англ. definition – определение), понимая, что стоящий под знаком математический символ (в рассматриваемом случе это - эквиваленция) используется именно для определения, не доказательства.

Формулы (1) указывают, что в абелевой группе G при любом выборе ее подгруппы H смежности L и R совпадают: L = R. В противном случае совпадение смежностей - L = R - это особенность подгруппы H. Здесь же стоит указать на совпадение L и R, порождаемых несобственными подгруппами E = {1}и G произвольной группы G. В первом случае всякий хG лево (право) смежен только сам себе, а во втором - любые два элемента из G лево (право) смежны.

Основные свойства, смежностей L и R, необходимые нам ниже, раскрывает следующая

Теорема. Пусть H < G

1 . хG, уH (xLxy xRyx) (2)

2 . Левая и правая смежности на группе, порожденные любой ее подгруппой, являются отношениями эквивалентности.

Доказательство. 1. Реализуется тривиальной проверкой: установить, например, что xLxy - это значит проверить (см. (1)), что x(xy) H, что практически очевидно! Точно также и во втором случае.

2. Доказательство проведем для одной из смежностей, например, для L.

Рефлексивность L. Возмем хG. Находим: xх=1H, т. е., согласно первому соотношению (1), прочитанному для у=х справа налево, x Lх.