Основные алгебраические структуры (стр. 20 )

Формализация Определения НОД:

(d (a, b)) (dD ( D (|d))) (1)

В кольце целых чисел для двух натуральных чисел их НОД в сформулированном выше понимании является их известным НОД и он наибольший по величине. В этой части название НОД перенесено в любое кольцо.

Замечания. 1. Из Определения усматривается независимость НОД от порядка элементов, так что всегда (a, b) = (b, a);

2. Формально под определение НОД нулевых элементов a и b подпадает элемент 0: (0,0) = 0. В дальнейшем, однако, мы исключаем этот случай из зоны нашего внимания, т. е., хотя бы один из рассматриваемых элементов a или b считается ненулевым.

3. Определение фиксирует понятие НОД для двух элементов. Логически ничто не препятствует заменить в определении два элемента на три и т. д. В формализации (7) Определения НОД (a, b) заменяется на (a, b,c), D - на D и т. д. Будем считать, что мы владеем понятием НОД любого числа элементов.

Свойства НОД. 1. Если НОД элементов a, bR существует, то он единственен с точностью до ассоциированных. Т. е., любые два различных значения НОД этих элементов ассоциированы между собой;

Замечание. На основании этого свойства мы будем считать НОД двух элементов фиксированным, т. е. в качестве НОД выбирается одно из возможных ассоциированных между собой его значений. Это соглашение отражено в формулировке следующих свойств НОД.

2. a, bR ((a|b) ((a, b) = a)) (2)

3. Если для трех элементов a, b,cR существуют НОДы (a, b), ((a, b),c), (a, b,c), то

(a, b,c) = ((a, b),c) (3)

Доказательство. 1. Пусть d и d - два значения НОД элементов a, bR. Тогда, согласно правой части (1), с одной стороны d,d D, а с другой - d и d делят друг друга, т. е. - ассоциированы.

2. Согласно левой части (2) и на основании транзитивности делимости (см. (5) §6) DD и поэтому D = DD = D. Это равенство подчиняет элемент а определению НОД элементов a и b.

3. Пусть (a, b,c) = d, (a, b) = u, (u, c) = v. Надлежит доказать, что d = v. По определению НОД (см. (1)) в принятых обозначениях последовательно получаем: 1) dD dDD dD D dD dD, т. е, d|v; 2) vD vDD v DD vDDD v D, т. е, v|d. Следовательно, d и v - ассоциированы, что в рамках замечания к формулировке свойства 1 означает d = v.

По отношению к понятию НОД элементов кольца своего рода симметричным (двойственным, дуальным) понятием является понятие наименьшего общего кратного элементов. Напомним, что множество всех кратных элементу аR составляет главный идеал aR кольца R.

Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) элементов a и b целостного кольца R - обозначают [a, b] - называется такое их общее кратное, которое делит любое их общее кратное.

Формализация Определения НОК:

(m [a, b]) ((m(aRbR)) (k(aRbR) (m|k))) (4)