Основные алгебраические структуры (стр. 8 )

 

 

 

Примеры. 1. Рассмотрим отображение мультипликативной группы С* в мультипликативную группу R* - : С* R* - по правилу:

u С*, (u) = |u| (2)

2. Пусть :GL(n, F)F* - отображение, заданное правилом:

A GL(n, F), (A) = DetA (3)

Рутинной проверкой устанавливается, что в обоих примерах отображения

обладают свойством (1), т. е. являются гомоморфными.

3. Пусть G - произвольная группа и H - ее нормальный делитель (см. (6) §4). Построим фактор-группу G/ (см. (7) §4). Зададим отображение : G G/ по правилу:

xG, (x) = xH (4)

Проверяем «на гомоморфизм» (опираясь на (4) и (8) §4): х, уG, (xу) = (ху)H = (хH)(уH) = (x) (y). Проверено! Построенный гомоморфизм группы G на ее факторгруппу G/ называют каноническим гомоморфизмом.

Свойства гомоморфизмов. 1. Пусть : G S гомоморфизм группы G в группу S. Тогда

(1) = 1 (5)

xG ((x) = (x)) (6)

2 (Свойство композиции гомоморфизмов). Пусть G, S и T - три группы и :GS и :ST - два гомоморфизма. Тогда их композиция :GT есть также гомоморфизм ( применяется первым, - вторым).

Доказательство. 1. Докажем равенство (5). Возьмем xG и 1G. По определению гомоморфизма - равенство (1) - получаем: (x) = (1x) = (1)(x). Это равенство тождественно можно переписать так: 1(x) = (1)(x). Отсюда, сократив равенство справа на (x), легко получается требуемое.

Для доказательства равенства (6) используем (5) (доказано!). Возьмем xG и 1G. Находим: (1) = (хх) = (х) ( х) = (х) (х) = 1, отсюда - требуемое равенство (6).

2. Возьмем х, уG. Найдем ()(ху): ()(ху) = ((ху)) = ((х)(у)) = ((х)) ((у)) = ()(х) ()(у), а это - и есть требуемое.

С гомоморфизмами групп связаны важные объекты, фиксируемые следующим определением.

Определение. Пусть : G S гомоморфное отображение группы G в группу S. Образ (G) группы G в S относительно называется образом гомоморфизма и обозначается Im (англ. image - образ), а полный прообраз (1) единицы группы S относительно называется ядром гомоморфизма и обозначается Ker() (англ. kernel - ядро).