Основные алгебраические структуры (стр. 4 )

Симметричность L. Возьмем х, уG и пусть xLy. Согласно (1), это означает, что xyH. Поскольку H<G, то обратный элементу xy также лежит в H. Формализовав сказанное и сделав необходимые и очевидные преобразования, получим: (xy) = y(x) = yxH, что прочитывается как yLx.

Транзитивность L. Возьмем х, у,zG и пусть xLy и уLz, т. е, согласно первой строке (1), xy, yz H. Если же два элемента лежат в подгруппе H, то их произведение также лежит в H: (xy)(yz) = x(yy)z = xz H. Иными словами (см. (1)), хLz. Теорема доказана.

Пусть в группе G выделена подгруппа H: H < G. Всякий элемент хG порождает - относительно смежностей L и R - классы эквивалентности, которые мы будем называть соответственно левым и правым классами смежности, порожденными элементом х, и обозначать через G (левый класс) и G (правый класс). Из левых класов смежности составлено одно фактор-множество, обозначим его \G, а из правых - другое фактор-множество G/:

\G {G| xG}, G/ { G|xG} (3)

Фактор-множества \G и G/ называются, соответственно, левым и правым разложениями группы G по погруппе H.

Теорема. Следующие соотношения раскрывают строение левого и правого классов смежности элемента хG:

G = xH = {xt| tH} (4)

G = Hx = {tx| tH } (5)

Доказательство. Докажем, краткости ради, одну из формул, например (4). Используя положения теории множеств, нам надлежит установить два включения: G xH и xH G. Установим их.

1. Возьмем у G. Это значит, что xLy или xyH или, в другой редакции, tH такое, что xy = t, т. е., y = xt xH. Итак, мы установили истинность импликации у G y xH. Но это и означает, что G xH.

2. Возьмем теперь у xH. Согласно правой части формулы (4) это означает, что tH такое, что y = xt. Но отсюда следует, что t представимо так: t = xy (H), т. е., xLy, а потому у G. Следовательно, xH G.

Теорема полностью доказана.

Примеры. 1. Для несобственных подгрупп Е и G группы G (напомним, что в этих случаях L = R) классы смежности, согласно формулам (4), (5), имеют тривиальное строение (см. §3):

Е: хG, G = G= {x} (6)

G: хG, G = G = G (7)

2. Этот пример очень важен для дальнейшего, поэтому мы остановимся на нем подробно. Рассмотрим подгруппу mZ аддитивной группы Z. Поскольку Z - абелева, смежности L и R на ней, порожденные подгруппой mZ, совпадают. Поэтому, в зависимости от удобства, в конкретных случаях мы будем пользоваться одной из них. Далее, совпадение L и R делает возможным использование в записях «смешанного» варианта - когда в одной и той же записи для удобства ипользуются обозначения, закрепленные за обеими смежностями. По формулам (4), (5), адаптированным для аддитивной групповой операции, для целого числа х Z получим: