Основные алгебраические структуры (стр. 19 )

a, bR ((a≠0 b≠0) (ab≠0)) (7)

a, bR ((ab=0) ((a=0) (b=0))) (8)

Примеры. 1. Числовые кольца Z, Q, R, C - целостные;

2. Рассмотрим кольцо вычетов Z. Покажем, что при составном mN кольцо Z обладает делителями нуля. Действительно, состАвность m означает, что m разлагается в произведение двух натуральных сомножителей - например k и s - и каждый из этих сомножителей больше 1 и меньше m:

m = ks, 1 < k, s < m (9)

Рассмотрим теперь элементы Z,Z Z. Оба эти элемента - не нули в кольце Z (обеспечивается неравенствами (9)), а и их произведение, в силу (4) §1 и равенства (5), обращается в нуль. Таким образом, кольцо Z является кольцом с делителями нуля.

Введем еще несколько понятий и обозначений, удобных в использовании. Причем в дальнейшем, если не оговорено иное, рассматриваемые кольца считаются целостными.

Если aR, то через D обозначают множество всех делителей элемента а кольца R:

D { bR| b|a} (10)

Аналогично, через D обозначают множество всех общих делителей элементов a, bR. Ясно, что:

D DD (11)

Прпимеры. 1. R - произвольное кольцо: 1) uGR D= GR; 2) D = R; 2. Кольцо Z: D = {1, 2, 3, 6}; D = {1, 2}.

Определение. Элементы a и b кольца R называются ассоциированными (друг другу), если они делят друг друга (или делятся друг на друга - что одно и то же):

(a, b - ассоциированы) (a‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|b b|a) (12)

Замечание. Под определение ассоциированных элементов формально подпадает случай a = b = 0. Везде в дальнейшем этот случай исключается из рассмотрения, так что в (12) всегда считаем a‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ и b отличными от нуля.

Поскольку для элементов a и b кольца R - согласно (2) - «делить друг друга» означает «делиться друг на друга», то определение ассоциированных элементов кольца не изменится, если правую часть (12) мы перепишем так:

(a, b - ассоциированы) (a÷‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌b b÷a) (13)

Если же воспользоваться формой (4) выражения делимости элементов, то мы приходим к еще одной - наряду с (12), (13) - форме выражения ассоциированности элементов кольца:

(a, b - ассоциированы) Rb = Ra (14)

Воспользовавшись формулой (10), мы незамедлительно получаем еще одну форму выражения ассоциированности:

(a, b - ассоциированы) D = D (15)

Теорема. Элементы a и b кольца R ассоциированы тогда и только тогда, когда они отличются друг от друга обратимым сомножителем. Формализация:

(a, b - ассоциированы) (abGRbaGR) (16)

Доказательство. Необходимость. Пусть элементы a и b кольца R ассоциированы. Тогда, согласно правой части (12), можем записать:

u, vR, (b = ua) (a = vb) (17)

Заменим в первом равенестве (17) элемент а его выражением из второго равенства. Преобразовав, получим:

b(1-uv) = 0 (18)

Поскольку R - целостное кольцо и b ≠ 0 (cм. Замечание к (12)), то (18) имеет следствием 1-uv = 0, что означает обратимость элементов u и v:

u, vGR (19)

В силу (19) равенства (17), декларирующие ассоциированность a и b, обеспечивают выполнение соотношений правой части (16).

Достаточность. Пусть выполняется правая часть (16), например, первое соотношение. Это означает выполнимость второго равенства (17), причем v - обратим:

b|a vGR (20)

Второе соотношение (20) на основании второго равенства (17) обеспечивает равенство b = va, означающее, что a|b. А это, вместе с первым соотношением (20) и есть левая часть (16).

Доказанная теорема предоставляет нам еще одну - наряду с (13), (14) и (15) - возможность формализации ассоциированности элементов a и b кольца R. А именно, ассоциированность a и b выразима правой частью (16).

§7. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное элементов целостного кольца

Возьмем два элемента a и b произвольного целостного кольца R.

Определение. Наибольшим общим делителем (НОД) элементов a, bR - обозначается НОД(a, b) или просто (ab) - называют такой их общий делитель, который делится на любой их общий делитель.