Основные алгебраические структуры (стр. 12 )

При этом сам элемент a называют основанием, а целое число n - показателем степени.

Замечание. На практике рассматриваемая группа G часто бывает аддитивной. В этом случае происходит соответствующая лингвистическая трансформация: вместо целой степени a элемента а говорят о его целом кратном na с соответствующей поправкой обозначений и названий (например, сомножитель слагаемое).

Основные свойства степеней. Пусть G - произвольная группа, aG - произвольный ее элемент. Тогда

m, nZ, aa = a, (a) = a (2)

Мы опускаем доказательства равенств (2) как таковые и ограничиваемся комментариями к ним, после которых сами доказательства предстают рутинными и носят чисто технический характер.

Выскажемся подробно о равенстве (2). В равенстве (1) показатель степени n может пребывать в трех модусах (лат. modus – состояние): n>0, n=0, n<0. В исследуемом равенстве (2) фигурирует два показателя степени и каждый из них - независимо от другого - может пребывать в трех модусах. Следовательно, пара показателей m и n может - формально - пребывать в девяти модусах (по типу «каждый с каждым»): 1. m>0n>0; 2. m>0n=0; 3. m>0n<0; 4. m=0n>0; 5. m=0n=0; 6. m=0n<0; 7.m<0n>0; 8. m<0n=0; 9. m<0n<0. Далее, в третьем и седьмом случаях модус суммы показателей m+n неоднозначен, а потому надлежит в каждом из них рассмотреть три подмодуса (подслучая): 3, 7. m+n>0; 3, 7. m+n=0; 3, 7. m+n<0. Итого, чтобы получит полное доказательство равенства (2), нам надлежит рассмотреть 13 (!) случаев (модусов показателей степеней m, n, m+n): модусы 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. Все эти случаи технически сходны между собой (в этом - технический характер доказательства), но этих случаев 13 (!) и в этом - рутинность процедуры. То же самое относится и к равенству (2). Оставляем читателю реализовать один-два модуса при доказательстве каждого из равенств (2).

Определение. Пусть G - группа. Элемент aG называют

1. элементом нулевого порядка, если никакая его натуральная степень не равна единице:

nN, а ≠ 1; (3)

2. элементом конечного порядка, если некоторая его натуральная степень обращается в 1:

nN, а = 1. (4)

Примеры. 1. Возьмем мультипликативную группу C*. Очевидно, что 5, -3C* - элементы нулевого порядка, в то время как i,-1C* - элементы конечного порядка: i = 1, (-1) = 1.

2. Пусть ε - произвольный корень n-й степени из 1. Поскольку - по определению - ε = 1, то ε С* - элемент конечного порядка. Этот пример - обобщение частных случаев i,-1C* примера 1.

Определение. Пусть G - группа и aG - элемент конечного порядка (выполняется (4)). Наименьшее натуральное число со свойством (4) называют порядком элемента а и обозначают Ora (англ. Order - порядок; внимание: в записи Ora буква а обозначает элемент!).

Замечание. По отношению к элементам нулевого порядка группы принимаем специальное соглашение и пишем Ora = 0.

Примеры. 1.. В выше приведенных примерах Ori = 4, Or(-1) = 2.

2. Специального рассмотрения заслуживает общий случай с комплексными корнями n-й степени из 1. В тригонометрической форме корни n-й степени из 1 задаются формулами:

ε = cos + isin, k=0, 1, . . . , n-1 (5)

При этом корень ε является первообразным (его целыми степенями исчерпывается множество всех корней n-й степени из 1):

k=0, 1, . . . , n-1 ε = (ε) (6)

Формула (6) указывает, что число n в точности удовлетворяет определению порядка элемента, т. е.,

Or ε = n (7)

Определение порядка элемента a группы G (элемента конечного порядка!) формализуется следующим образом:

((OraN) (a = 1) (( nN (n < Ora)) (a 1)) (8)