Основные алгебраические структуры (стр. 16 )

§2. Подкольца, идеалы колец. Определение, примеры, свойства, критерии.

Пусть R - произвольное кольцо.

Определение. Подмножество SR кольца R называют его подкольцом - обозначают S < R - если S само образует кольцо относительно (кольцевых) операций сложения и умножения исходного кольца R.

Примеры. 1. Всякое кольцо является своим подкольцом: R< R; 2. Z < R; R < C и т. д. Примеров числовых колец-подколец можно привести много.

Теорема (критерий подкольца). Пусть R - произвольное кольцо и SR - его непустое подмножество. Тогда

(S < R) ((1S) (S-SS) (SSS)) (1)

Доказательство. Прежде всего, обратим внимание на теоретико-множественную редакцию критерия подкольца (см. §2, Замечание к критерию подгруппы). Второе условие правой части (1) это - аддитивная версия критерия подгруппы, представленного в §2 Главы I в мультипликативной версии.

Необходимость. Итак, пусть S < R. Тогда сразу можно констатировать выполнимость первого условия правой части (1). Далее, по определению подкольца аддитивная группа (S, +) подкольца S является подгруппой аддитивной группы (R, +) кольца R: (S, +) < (R, +). Следовательно, для подгруппы (S, +) группы (R, +) выполняется критерий подгруппы, каковым является второе условие (1). Наконец, наличие в подкольце операции умножения в теоретико-множественной редакции и есть третье условие (1).

Достаточность. Пусть теперь SR - непустое подмножество кольца R, на котором реализованы три условия правой части (1). Надлежит проверить выполнимость на S всех аксиом кольца (см. §1, Определение кольца). Последовательно проводим эту проверку. Второе условие правой части (1) - это критерий того, что (S, +) < (R, +), т. е., (S, +) - аддитивная (конечно - абелева!) группа и, следовательно, для S выполняется аксиома I определения кольца. Кроме того, третье условие (1) - это теоретико-множественная редакция того факта, что на S задана - кроме сложения - и операция умножения. Итак, мы имеем алгебраическую структуру (S, +, ), по отношению к которой реализована аксиома II определения кольца. Далее, первое условие правой части (1) совпадает с условием 3 аксиомы III, а коммутативность, ассоциативность умножения и его дистрибутивность относительно сложения, будучи реализованными на всем кольце R, конечно же реализуются и на его части S. Тем самым, для S завершена проверка аксиомы III и проверена аксиома IV определения кольца. Выполнимость аксиомы I обеспечена свойством 2 колец и тем, что 0,1 S.

Подкольца - это один тип подструктур структуры кольца. Мы рассмотрим еще один тип - идеалы кольца.

Определение. Непустое подмножество IR кольца R называют его идеалом - обозначают I <| R, - если

1. I является подгруппой аддитивной группы кольца R:

(I, +) < (R, +); (2)

2. I замкнуто относительно умножения на элементы кольца R:

RI I. (3)

Примеры. 1. Идеалами кольца R являются оно само и множество {0}:

R, {0} <| R (4)

Идеалы R, {0} называются несобственными идеалами кольца R.

2. В кольце R возьмем произвольный элемент а и построим множество «R-кратных» элемента а (в различных обозначениях):

(а) = аR = Rа = {xa| xR} (5)

Легко проверяется, что Rа - идеал кольца R:

Rа <| R (6)

Определение. Постренный по правилу (5) идеал Rа кольца R назывется его главным идеалом. Элемент а при этом называют образующим (элементом) идеала Rа или говорят, что идеал Rа образован элементом а.

Замечание. Легко видеть, что в кольце Z множество mZ является главным идеалом. Несобственные идеалы (4) кольца R можно трактовать как главные идеалы: R = R1, {0} = R0.

Теорема (критерий идеала). Пусть IR - непустое подмножество кольца R. Тогда

(I <| R )(( I - I I) (RI I)) (7)

Доказательство критерия идеала, с учетом изложенного выше, предстает чисто формальным. Действительно, второе условие правой части эквиваленции (7) есть второе условие определения идеала (см. (3)), а первое - критерий подгруппы в аддитивной версии, что по существу, совпадает с первым условием определения идеала.

Комментарий. Между подкольцами и идеалами кольца есть сходные признаки. Например, и те, и другие - подгруппы аддитивной группы кольца. Более того, в предельном случае несобственное подкольцо R кольца R и его несобственный идеал R - совпадают. Но есть между подкольцами и идеалами кольца различия: например, идеал может состоять из одного - нулевого - элемента, а подкольцо - нет (содержит не менее двух элементов).

И по отношению к подкольцам, и по отношению к идеалам кольца имеет место утверждение, аналогичное свойству 5 подгрупп (см. §2 Главы I):

Свойство 1. (о пересечении подколец и идеалов). Пересечение любого семейства подколец (идеалов) кольца является его подкольцом (идеалом).

Для идеалов кольца есть еще одно свойство, не имеющее силы по отношению к подкольцам.

Свойство 2. Сумма двух (и более) идеалoв кольца является его идеалом.

Формализация Свойства 2 (для двух идеалов):

(I, J <| R) ((I+J)<|R) (8)

В правой части (8) сумма I+J употреблена в теоретико-множественном смысле, описанном в §2 Главы I: I+J = {x+y|xI, yJ}.

Применение критерия подкольца (идеала) делает доказательство Свойств 1, 2 совершенно прозрачным.

§3. Фактор-кольца

Построение фактор-кольца в основных своих чертах, по логическим основаниям повторяет построение фактор-группы.

Пусть I - идеал кольца R:

I <| R (1)

Согласно определению идеала по сложению I - подгруппа аддитивной группы кольца R (см. (2) §2). Поскольку аддитивная группа кольца R абелева, I - как подгруппа - является нормальным делителем группы (R, +) и мы можем построить фактор-группу R/

R/ = {x+I| xR} (2)

с операцией сложения на ней, задаваемой формулой

(x+I) + (y+I) (x+y)+I (3)

Внесем теперь в аддитивную группу R/ операцию умножения по следующему правилу:

(x+I)(y+I) xy+I (4)

Покажем корректность умножения, задаваемого формулой (4). Т. е., надлежит установить:

((x+I = u+I) (y+I = v+I)) (xy+I = uv+I) (5)

Действительно, равенства в правой части эквиваленции (5) означают, что (x-u), (y-v) I. Из этого, по второму условию определения идеала (см. §2), заключаем, что (x-u)y, u(y-v) I, а по первому условию определения идеала там же) получаем: (x-u)y + u(y-v) = xy-uv I, т. е., выполняется правая часть эквиваленции (5).

Итак, мы имеем алгебраическую структуру (R/, +, ) с операциями сложения и умножения, заданными (корректно!) формулами (3), (4). Чисто автоматические усилия по проверке аксиом кольца для этой структуры (провести самостоятельно) убеждают, что (R/, +, ) - кольцо. Отметим, что единицей кольца R/ является элемент (1+I)R/.