Основные алгебраические структуры (стр. 9 )

Формульно-математическая версия определения образа и ядра гомоморфизма выглядит следующим образом:

Im (G) = {(x)| xG} S (7)

Ker { xG| (x) = 1} G (8)

То же самое (определение и формулы (7), (8)) визуализируется схемой:

G S Im

 

Ker

 

 

Так, например, в примере 1 находим: Im = R, Ker = {zC| |z| = 1}. Геометрически комплексные числа (точки или концы векторов на координатизированной плоскости) - с модулем, равным 1, - образуют единичную окружность.

Свойство (5) гласит, что всегда 1 Ker. Если ядро гомоморфизма состоит только из 1 - Ker = {1}, - то его называют тривиальным.

Теорема. Пусть : G S гомоморфное отображение группы G в группу S. Тогда

Im < S, Kerφ <| G (9)

Доказательство. Для доказательства отношений (9) используем критерии подгруппы и нормального делителя (см. §1 и §2).

1. Возьмем произвольные u, v Im. Пусть х и у из G - их прообразы относительно гомоморфизма : (х) = u, (y)= v. Отсюда - так как ху лежит в G - последовательно, опираясь на (1), (6), устанавливаем: ( ху) = (х) (у) = (х) (у) = uv Im, т. е., (9) доказано.

2. Установим в начале, что Kerφ < G. Возьмем х, у Kerφ. Находим: ( ху) = (х) (у) = (х) (у) = 11 = 1, т. е., ху Kerφ, а значит - по критерию подгруппы - Kerφ < G. Далее, применяем к Kerφ критерий нормального дели§4: х G, у Kerφ, ( хух) = (х) (у) (х) = ( х)( х) = 1, т. е., хух Kerφ, а это и есть доказательство (9).

§6. Изоморфизмы групп. Определение, основные свойства, примеры

Пусть даны две группы G и S.

Определение. Изоморфизмом (греч. iso – одинаковый, равный, morphe - форма) или изоморфным отображением группы G на S называют биективный гомоморфизм f: G S. В этом случае группу G называют изоморфной группе S.

Пример. Рассмотрим две группы: мультипликативную группу R и аддитивную группу R. Возьмем логарифмическое отображение (например, по десятичному основанию) lg: R R первой группы на вторую. Отображение lg - биективное и оно наделено свойством гомоморфизма (см. (1) §5): х, у R, lg(ху) = lgх + lgу. Таким образом, мультипликативная группа R изоморфна аддитивной группе R.