Основные алгебраические структуры (стр. 15 )

ZZ = Z (4)

Как и в случае фактор-группы необходимо доказать корректность умножения, задаваемого формулой (4) (см. (8). (9) §4 Главы I). Т. е., необходимо доказать утверждение:

x, y,k, s Z, (Z= Z) (Z=Z) Z= Z (5)

Действительно, равенства (Z= Z) (Z=Z) ознчают, что разности чисел x - k и y - s делятся на m (см. §3):

(x – k)÷m (y – s)÷m (6)

Установить правую часть импликации (6) - это значит установить делимость разности xy – ks на m:

(xy – ks)÷m (7)

Проводим очевидные тождественные преобразования разности xy – ks и, опираясь на (6), получаем искомое: xy – ks = xy - xs + xs - ks =( x(y – s) + s(x – k))÷m.

Итак, формула (4) корректно определяет на Z операцию умножения. В результате мы получили алгебраическую структуру Z с двумя операциями - сложением (3) и умножением (4). Несложная проверка выполнимости для этой структуры аксиом кольца приводит к положительному результату: Z с двумя операциями - сложением (3) и умножением (4) - является кольцом. Это кольцо и называют кольцом вычетов целых чисел по модулю m. Заметим, что в кольце Z единицей является элемент Z.

Рассмотрим конкретный пример кольца вычетов Z. В конце §4 Главы I таблицей Кэли задана операция сложения аддитивной группы Z. Наделим группу Z умножением по правилу (4). Поскольку группа Z - конечна, то уазанное умножение в Z можно задать такой же таблицей Кэли (при этом, как и в случае таблицы Кэли, задающей сложение на Z - см. §4 Главы I - мы явно выписали строку произведений элемента Z на все элементы из Z):

× Z Z Z Z Z Z

Z

Z

Z Z Z Z Z Z Z

Z

Z

Z

Из интересного по этой таблице можно отметить, что: 1) не все элементы кольца Z - даже ненулевые - обратимы (Z необратим); 2) в кольце Z произведение ненулевых элементов может обращаться в нуль (Z Z = Z).

Простейшие свойства колец. Пусть R - произвольное кольцо. Тогда

1. хR, 0х = 0 (9)

2. 1 ≠ 0 (10)

3. хR, (-1)x = - x (11)

4. х, yR, -(xy) = (-x)y = x(-y) (12)

Доказательство каждого свойства основано на аксиомах кольца (свойство 1) и предыдущих свойствах из этого списка (свойства 2-4). Для определенности проведем доказательства свойств 1, 3. 1. Возьмем хR и составим два равенства: х + 0 = х, х + 0х = 1х + 0х = (1 +0)х = 1х = х. Итак, х + 0 = х + 0х, отсюда - (9). 3. Возьмем хR и, выполняя тождественные преобразования, последовательно находим: х + (-1)х = 1х + (-1)х = (1 + (-1))х = 0х = 0. Итак, х +(-х) = х + (-1)х, откуда вытекает (11).

В заключение параграфа рассмотрим важную мультипликативную группу, связанную с кольцом R. Обозначим через GR - множество всех обратимых элементов кольца R. Так, например, GZ = {1, -1}, GC = C*. Легко устанавливается, что GR - это мультипликативная группа, относительно операции умножения исходного кольца R. Группа GR и называется мультипликативной группой кольца R.