Основные алгебраические структуры (стр. 5 )

Z = х+ mZ = {x+mt| tZ} (8)

По определению правой смежности, два числа х, у Z право смежны, если

х-у mZ (9)

т. е., разность целых чисел х и у кратна натуральному m (разность (x – y) делится на m - (x – y)÷m или, что то же самое, m делит разность (x – y) - m|(x – y)).

Смежности целых чисел по подгруппе mZ можно придать еще одно содержание. Мы исходим из того, что любое целое число х можно единственным образом разделить с остатком на произвольное натуральное m:

xZ,mN, !q Z, !rN (r < m), x = mq + r (10)

Числа q и r в (10) называют (неполным) частным и остатком от деления x на m. Из (10) видно, что при фиксированно m остаток r может принимать лишь m значений:

r = 0, 1, . . . , m-1 (11)

Далее, из равенства (10) непосредственно усматриваем, что разность (x-r) mZ (см. (9)), т, е., при делении на m всякое целое число смежно (по подгруппе mZ) своему остатку, а значит Z= Z. Таким образом, m классов смежности, порожденных m числами (11) - потенциальными остатками от деления целых чисел на m - задают разложение (левое или правое - они совпадают) аддитивной группы Z по подгруппе mZ:

Z= { Z, Z, . . . , Z} (12)

Эквивалентностный характер смежностей L и R на группе G по подгруппе H, а также характер строения классов смежности, раскрываемый формулами (4), (5), являются основанием для установления связи между порядком группы G и порядком ее подгруппы H в случае конечности группы G. А именно, имеет место

Теорема Лагранжа. Порядок подгруппы H конечной группы G делит порядок самой группы.

Формализация:

(H < G) (OrG N) (OrH)|(OrG)    (13)

Доказательство. Пусть G - конечная группа порядка n. Пусть, далее, OrH = k. Возьмем - для определенности - правое разложение группы G по подгруппе H, задаваемое второй формулой (3). Конечность группы G детерминирует конечность разложения G/. Допустим, что число элементов разложения G/ равно s. Тогда вторая формула (3) специфицируется так:

G/ = { Hx, Hx, . . . , Hx} (14)

Анализируя (14), мы устанавливаем: 1) согласно формуле (5). Каждый из классов смежности Hx, Hx, . . . , Hx содержит ровно столько элементов, сколько их содержит H, т. е., k; 2) классы смежности Hx, Hx, . . . , Hx попарно не пересекаются, а их объединение дает всю группу G:

G = Hx Hx, . . . , Hx (15)

Из сказанного следует, что число элементов в правой части (15) равно sk, а значит равно n:

n = sk (16)

Но равенство (16) есть просто иная версия правой части (13), что и доказывает теорему Лагранжа (Лагранж Жозеф Луи - французский математик, 1736-1813).

§4. Нормальные делители группы. Факторгруппы

Пусть в группе G выделена подгруппа H. В §3 отмечено, что - за исключением абелевых групп - совпадение смежностей L и R, порожденных подгруппой H, это - особенность подгруппы H. Эта особенность фиксируется в следующем определении.

Определение. Подгруппу H группы G называют ее нормальным делителем или инвариантной подгруппой, если совпадают порожденные H левая и правая смежности на G:

L = R (1)

Обозначение: H <| G. Ясно, что совпадение левой и правой смежностей эквивалентно совпадению левого и правого разложений группы G по подгруппе H (см. (3) §3):

(L = R) (\G = G/) (2)

Разложения (2) (это - одно и то же) в этом случае будем называть просто разложением группы по ее нормальному делителю.

Теорема (критерий нормального делителя). Пусть в группе G выделена подгруппа H. Тогда следующие три условия попарно эквивалентны

1. H <| G (3)

2. xG, yH, xyx H (4)

3. xG, G = G (5)

Доказательство. Замечание. Нам необходимо доказать три эквиваленции: 1 2; 1 3; 2 3. А так как каждая из них (необходимое и достаточное условие) распадается на две импликации, то всего предстоит доказать шесть утверждений. Мы, воспользовавшись свойствами (законами) логических операций, поступим иначе: докажем три импликации: 1 2; 2 3; 3 1. Будучи взятыми «вкруговую» (конъюнкция), они обеспечат искомое доказательство.

1 2. Дано (3). Возьмем xG, yH. Тогда, согласно (2) §3, xRyx. А так как R = L, то xLyx, откуда xyx H. Мы получили (4).