Основные алгебраические структуры (стр. 11 )

Покажем, что отображение f наделено свойством гомоморфизмов (см. (1) §5). Возьмем х, уS и пусть u, v G - их прообразы относительно гомоморфизма: (u) = х, (v) = у. Это, согласно (1), означает, что f(x) = u Ker, f(y) = v Ker. Теперь в фактор-группе G/ находим: (uKer)(vKer) = (uv) Ker. Поскольку - отображение гомоморфное, то (uv) = (u)(v) что, согласно (1), является основанием для конструирования следующей последовательности равенств: f(xy) = f((u)(v)) = f((uv)) = (uv) Ker = (uKer)(v Ker) = f(x)f(y). Мы пришли к искомому: f(xy) = f(x)f(y), т. е., f - гомоморфизм (биективный), а значит - изоморфизм. Свойство доказано.

Теорема (критерий изоморфизма). Гомоморфизм : G S группы G в S является изоморфизмом (т. е. биективным отображением) тогда и только тогда, когда

Im = S, Ker = {1} (2)

Второе равенство (2) указывет на тривиальность ядра гомоморфизма . Отсюда - иная лингвистическая версия критерия изоморфизма: Гомоморфизм : G S группы G в S является изоморфизмом (т. е. биективным отображением) тогда и только тогда, когда Im = S, а ядро Ker тривиально.

Доказательство. Первое равенство (2) в иной редакции означает всего лишь сюръективность . Поэтому предмет нашего внимания - тривильность ядра гомоморфизма.

Необходимость. Пусть гомоморфизм : G S является изоморфизмом, а значит инъективен. По свойству (5) §5 1 Ker, а в силу инъективности в Ker кроме 1 ничего больше нет, отсюда и тривиальность ядра изоморфизма .

Достаточность. Пусть ядро гомоморфизма тривиально (Im = S, т. е. сюръективность уже обеспечена). Возьмем х, уG и пусть (х) = (у). Нам надлежит установить, что в этом случае обязательно х = у! Основываясь на свойствах (5), (6) гомоморфизмов (см. §5), определении ядра гомоморфизма, имеем цепочку импликаций: (х) = (у) (х)(у) = 1 (S) (х)(у) = (ху) = 1 ху Ker = {1} ху = 1 (G) х=у, что и констатирует инъективность . Теорема доказана.

Замечание. Изучение алгебраических структур есть изучение свойств операций и отношений, заданных на множестве (множествах). Изучая алгебраические структуры, исследователи не интересуются природой элементов. С этих позиций даже поведение элементов структуры по отношению к операциям и отношениям (например, свойства отдельных элементов группы «быть единицей», вступать в отношение «обратимости» и т. д.) - это, в конечном итоге, свойства операций и отношенй алгебраической структуры, детерминирующей эти «поведения» элементов. С учетом сказанного (игнорирование природы элментов алгебраической структуры) с точки зрения алгебры две изоморфные группы (а в общем контексте - две изоморфные алгебраические сруктуры) рассматриваются как «различные экземпляры» одной и той же группы. Этим приемом часто пользуются, если возникает необходимость, заменяя одну группу другой - ей изоморфной («один экземпляр» группы заменяют «другим ее экземпляром»). Данный прием является очень мощным методологическим средством, применяемым в математике.

§7. Степень и порядок элемента группы

Пусть G - произвольная группа (по умолчанию считаем ее мультипликативной). Возьмем aG и Z.

Определение. Целой - n-й - степенью элемента a группы G - обозначается a - называют элемент, определяемый равенством

aa. . . a (n сомножителей), если n>0;

a 1, если n=0; (1)

aa . . . a (-n сомножителей), если n<0.