Основные алгебраические структуры (стр. 27 )

Замечание. Свойства 4, 5 справедливы и для тех случаев, когда участвующие в них произведения сформированы не двумя, а бОльшим числом сомножителей: тремя, четырьмя и т. д.

Комментарий. Свойства взаимно простых элементов, представленные в только что доказанной теореме, доказывались нами для факториальных колец (см. §3). Почему потребовалось «перерассматривать» их в кольце главных идеалов? Дело в том, что на данный момент факториальные кольца и кольца главных идеалов - это разные типы колец и нет оснований переноса инструментов доказательства из кольца одного типа в кольцо другого типа. Именно поэтому мы доказали эти же свойства средствами кольца главных идеалов, что и придало им «законность» уже в этом кольце. Ниже, опираясь на эти свойства как свойства взаимно простых элементов кольца главных идеалов, мы установим связь последних с факториальными кольцами.

§5. Факториальность кольца главных идеалов

Теорема (лемма о конечности возрастающей последовательности идеалов). В кольце главных идеалов всякая возрастающая последовательность идеалов конечна.

Доказательство. В кольце главных идеалов R возмем произвольную возрастающую последовательность главных идеалов. Пусть идеалы этой последовательности заданы образующими а, а, . . . , а, . . . :

аR аR . . . аR . . . (1)

Факт возрастания цепочки (1) обеспечивается «строгостью» включений. Доказать теорему означает установить, что начиная с некоторого номера k члены последовательности (4) стабилизируются - «не возрастают», каждый следующий равен предыдущему.

Рассмотрим объединение всех идеалов последовательности (1):

I = (aR) (2)

Вообще говоря, объединение идеалов может и не быть идеалом. Специфика же последовательности (1) (возрастаемость) обеспечивает I статус идеала, что легко устанавливается по критерию идеала (оставляется для самостоятельной проверки). Поскольку R - кольцо главных идеалов, то идеал I - главный. Пусть a - его образующая: I = aR. Итак, (2) переписывается:

I = aR = (aR) (3)

Дешифровка теоретико-множественного равенства (3) имеет следствием два установления:

(kN (a(aR))) ( iN ((aR) (aR))) (4)

Первый член конъюнкции (4) имеет следствием следующее теоретико-множественное включение:

kN ((aR) (aR)) (5)

Из серии включений, представленных вторым членом конъюнкции (4), выбираем одно, задаваемое значением i = k:

(aR) (aR) (6)

Сопоставляя (5) и (6), заключаем:

kN (I (=aR) = (aR)) (7)

Но (7) «обрекает» возрастающую последовательность идеалов (4) стабилизироваться начиная - по крайне мере - с k-го ее члена:

aR = aR = . . . (8)

Отрицание соотношений (8) приводит к противоречию с (7). Но (8) и есть искомая версия доказываемой теоремы.

Доказанная лемма лежит в оснвании доказательства следующей - основной для данного параграфа - теоремы.

Теорема. Всякое кольцо главных идеалов является факториальным.

Доказательство. Пусть R - кольцо главных идеалов. Мы исключаем из рассмотрения тривиальный для R случай поля: понятия простоты, состАвности прилагаются к ненулевым и необратимым элементам, которых в этом случае в R нет. Итак, берем произвольный ненулевой и необратимый элемент aR и тестируем его определением факториального кольца (см. §1). Если а - простой элемент, то равенство а = а есть его (тривиальное) разложение в произведение (единственный сомножитель!) простых сомножителей, т. е., в этом случае аксиома 1 определения факториального кольца выполнена - простые элементы из R «протестированы» аксиомой 1. Пусть теперь а - составной элемент. Факт его подчинения аксиоме 1 определения факториального кольца установим методом от противного. Пусть а никаким способом не разлагается в произведение простых сомножителей. СостАвность а гарантирует наличие у него собственных делителей (см. §1), в произведение которых распадается элемент а: а = аа . . . а. Если бы каждый сомножитель а этого произведения обладал разложением на простые сомножители, то таковым - очевидно - обладал бы и сам элемент а, что исключено допущением противного. Следовательно, хотя бы один собственный делитель элемента а - пусть это будет а - не способен быть представленным в виде произведения простых элементов.

Подведем промежуточный итог. Если составной элемент aR не имеет - по допущению - разложения на простые сомножители, то хотя бы один из его собственных делителей - обозначенный нами а - наследует от него этот статус: т. е, 1) является составным и 2) никаким способом не разлагается в произведение простых сомножителей. Если воспользоваться связью делимости элементов и главных идеалов (см. (4) §6 Главы II), то факт того, что а - собственный делитель элемента а, записывается так:

Ra Rа (9)

Обратимся теперь к элементу аR. Имея тот же - что и а - статус (см. выше), элемент а позволяет выделить свой собственный делитель, обозначим его через а, того же статуса, что и элементы а и а: 1) является составным и 2) никаким образом не разлагается в произведение простых сомножителей. Кроме того, как и выше с (9), мы имеем:

Rа аR (10)

Объединив (9) и (10), мы - на данном этапе - получим:

Ra Rа аR (11)