Общие методы анализа (стр. 63 )

идентичность  которых  требуется  доказать.  Для проверки гипотезы

I.4.3 следует установить,  существует  ли  статистически  значимое

  2  2

различие между дисперсиями s1 и  s2.  Эта проверка проводится так,

как указано в разделе I.3 (см.  выражения I.3.4,  I.3.5,  I.3.5а).

Рассмотрим три случая.

  2  2

  1. Различие  дисперсий  s1  и  s2 статистически  недостоверно

(справедливо неравенство I.3.5а).  В этом случае  средневзвешенное

  2  2

значение s вычисляют по уравнению I.1.7, а дисперсию  s  разности

_  _  Р

│x1 - х2│ - по уравнению I.4.4:

  2

  2  s  (n1 + n2)

  s  = ------------;  (I.4.4)

  Р  n1n2

  ----

  / 2

  s  =  / s  (I.4.4a)

  Р  \/  Р  .

  Далее вычисляют критерий Стьюдента:

  _  _  _  ---------

  │х1 -  х2│  │х1 - х2│  /  n1n2

  t = ---------- = ----------  / ---------;  (I.4.5)

  s  s  \/  n1 + n2

  Р

  f = n1 + n2 - 2.  (I.4.5а)

  Если при выбранном значении Р (например, при Р = 95%)

  t > t(Р, f),  (I.4.6)

  _  _

то результат  проверки  положителен - значение  (х1 - х2) является

  _  _

значимым и гипотезу х1 = х2 отбрасывают. В противном  случае  надо

признать,  что  эта  гипотеза  не  противоречит  экспериментальным

данным.  2  2

  2. Различие значений s1  и  s2  статистически  достоверно

  2  2  2

(справедливо неравенство I.3.5). Если s1 > s2,  дисперсию  s

  Р

  _  _

разности (х1 - х2) находят по уравнению  I.4.7,  а число степеней

свободы f'- по уравнению I.4.8:

  2  2

  2  s1  s2

  s  = ---- + ----;  (I.4.7)

  Р  n1  n2

  ┌  ┐

  │  2 2  │

  │  s1s2  │

  f' = (n1 + n2 - 2) │ 0,5 + -------- │.  (I.4.8)

  │  4  4  │

  │  s1 + s2  │

  └  ┘

  Следовательно, в данном случае

  _  _  _  _

  │х1 -  х2│  │х1 -  х2│n1n2

  t = ---------- = -----------------.  (I.4.9)

  s  2  2

  Р  n2s1 + n1s2

  Вычисленное по  уравнению  I.4.9  значение  t  сравнивают  с

табличным значением t(Р, f'), как это описано выше для случая 1.

  2  2

  Рассмотрение проблемы упрощается, когда n1 ~= n2  и  s1 >> s2.

  _

Тогда  в  отсутствие систематической ошибки среднее  х2  выборки

объема n2 принимают за достаточно точную оценку величины  А,  т. е.

  _  _

принимают х2  =  "ми."  Справедливость  гипотезы  х1  =  "ми",

эквивалентной гипотезе  I.4.3,  проверяют  с  помощью  выражений

I.3.1,  I.3.2,  принимая f1 = n1 - 1.  Гипотеза I.4.3 отклоняется,

как статистически  недостоверная,  если  выполняется  неравенство

I.3.2.

  3. Известно  точное  значение  величины  А.  Если  А  =  "ми",

  _  _

проверяют две  гипотезы:  х1  =  "ми"  (I.4.6) и х2= "ми" (I.4.7).

Проверку выполняют  так,  как  описано  в  разделе I.3  с

помощью выражений I.3.1 и I.3.2,  отдельно для каждой из  гипотез.

Если  гипотезы I.4.6 и I.4.7 статистически достоверны,  то следует

признать  достоверной  и  гипотезу  I.4.3.  В  противном  случае

гипотеза I.4.3 должна быть отброшена.

  Примечание I.4.2. В случае, предусмотренном примечанием I.1.2,

  _  2

при сравнении средних используют величины lg х, s  и s.

  g  lg  lg

  _  _

  Когда разность  (x1 -  х2)  оказывается значимой,  определяют

доверительный интервал для  разности  соответствующих  генеральных

  ~  ~

средних (x1 и х2):

  (I.4.10)

  _  _  ~  ~  _  _

  │x1 -  х2│ - t(P, f)s  <= │x1 - х2│ <= │x1 - х2│ + t(P, f)s

  р  р

Пример I.4.1. При определении содержания основного вещества в двух образцах препарата, изготовленных по разной технологии, получены метрологические характеристики средних результатов, приведенные в табл. I.4.2. Требуется решить, является ли первый образец по данному показателю лучшим в сравнении со вторым образцом.

  2

  s2  0,31

  Поскольку F = ---- = ---- = 1,24 < F (99%, 5,7) = 7,46,  то

  2  0,25

  s1

согласно неравенству I.3.5а  статистически  достоверное различие

  2  2

величин s1 и  s2 отсутствует.

Таблица I.4.2

Номер обра- зца	n	f	_    х    %	2 s	s	s_   х	P %	t  (P, f)	"ДЕЛЬ- ТА"х	"ДЕЛЬ- ТА"_    х	_______ "эпсилон"   %
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	8	7	99,10	0,25	0,50	0,18	95	2,36	1,18	0,42	0,42
2	6	5	98,33	0,31	0,56	0,23	95	2,57	1,44	0,59	0,60

  _  _

Следовательно, гипотеза х1 = х2  (I.4.3)  проверяется с помощью

уравнений I.1.7,  I.1.8,  I.4.4 и I.4.5.

  k=g  2  2  2

  SUM [(n  - 1)s ]  f1s1 + f2s2

  k=1  k  k

  s = ----------------- = ----------- =

  k=g  f1 + f2

  SUM (n  - 1)

  k=1  k

  7 х 0,25 + 5 х 0,31

  = ------------------- = 0,275;

  7 + 5

  ----

  / 2  ------

  s  = \/ s  = \/ 0,275 = 0,524.

  2

  2  s (n1+ n2)  0,275 х (8 + 6)

  s  = ------------- = ---------------- = 0,0802;

  p  n1n2  8 х 6

  ----

  /  2  -------

  s  =  / s  = \/ 0,0802 = 0,283.

  р  \/  р

  f  = n1 + n2 - 2 = 8 + 6 - 2 = 12.

  _  _

  │х1 -  х2│  │99,10 - 98,33│

  t = ---------- = --------------- = 2,72.

  sp  0,283

  t = 2,72 > t(95%; 12) = 2,18.

  t = 2,72 < t(99%; 12) = 3,08.

  Следовательно, с доверительной вероятностью  Р = 95% гипотеза

_  _

х1 не  равно  х2  может  быть  принята.  Однако  с  доверительной

вероятностью Р = 99%  принять эту гипотезу нельзя из-за недостатка

информации.

  _  _

  Если гипотеза  х1  не  равно  х2  принята,  то  определяют

  ~  ~

доверительный  интервал  разности  генеральных  средних  х1  и  х2

(уравнение I.4.10):

  _  _  ~  ~  _  _

  │х1 - х2│ - t(P, f)sp <= │х1 - х2│ <= │х1 - х2│ + t(P, f)sp

  (Р = 95%; f = 12);

  ~  ~

  │99,10 - 98,33│ - 2,18 х 0,283 <= х1 - х2 <=

  <= │99,10 - 98,33│ + 2,18 х 0,283

  ~  ~

  0,15 <= х1 - х2 <= 1,39

I.5. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ АНАЛИЗА

Оценка сходимости результатов параллельных определений. При рядовых исследованиях аналитик обычно проводит два-три, реже четыре параллельных определения. Варианты полученной при этом упорядоченной выборки объема m, как правило, довольно значительно отличаются друг от друга. Если метод анализа метрологически аттестован, то максимальная разность результатов двух параллельных определений должна удовлетворять неравенству:

  │х1 - х │ < L(P, m)s,  (I.5.1)

  n

где L(P, m) - фактор, вычисленный по Пирсону при P = 95%.

m	2	3	4
L	2,77	3,31	3,65

  Если неравенство  I.5.1  не  выполняется,  необходимо провести

дополнительное определение и  снова  проверить,  удовлетворяет  ли

величина │х1 - х │ неравенству I.5.1.

  │  n│

  Если для  результатов  четырех  параллельных  определений