Урок 1 Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии (стр. 28 )

А. Алгоритм нахождения угла между векторами {x1; y1; z1} и {x2; y2; z2}, заданными своими координатами.

1. Вычислить длины векторов и :

, .

2. Найти скалярное произведение :

= x1 ∙  x2 + y1 ∙  y2 + z1 ∙  z2.

3. Найти косинус угла б между векторами и по формуле:

cos б =.

Примеры.

1. (№ 000 (д)). {; –; 2}, .

Найдите угол между векторами и .

1) .  .

2) – 2 ∙  1 = –1 – 1 – 2 = –4 .

3) cos б == –1 б = 180°.

2. (аналогичный № 000).

Даны точки A (1; 3; 0), B (2; 3; –1), C (1; 2; –1). Найдите угол между и .

1) A (1; 3; 0), B (2; 3; –1) {2 – 1; 3 – 3; –1 – 0}.

{1; 0; –1} .

A (1; 3; 0), C (1; 2; –1) {1 – 1; 2 – 3; –1 – 0}.

{0; –1; –1} =.

2) {1; 0; –1}, {0; –1; –1} = 1 ∙  0 + 0 ∙  (–1) + 1 ∙  1 = 1.

3) cos б = cos б = 60°. Найдите угол между и . б = 180° – 60° = 120°.

В. Нахождение угла между прямыми.

Ввести понятие направляющего вектора прямой.

Так  как  угол  между  прямыми  принято  считать  острым,  то
cos б =, где и – направляющие векторы прямых.

Пример (№ 000 (а)). Вычислите угол б между прямыми и , если A (3; –2; 4), B (4; –1; 2), C (6; –3; 2), D (7; –3; 1).

1. {1; 1; –2}, .

{–1; 0; 1}, .

2. = 1 ∙  (–1) + 1 ∙  0 – 2 ∙  1 = –3.

3. cos б =б = 30°.

С. Нахождение угла между прямой и плоскостью.

Пусть {x1; y1; z1} направляющий вектор прямой a. Вектор {x2; y2; z2} – ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости б. sin б = cos в =.

Пример (№ 000 (а)).

Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб, AC BD = N, M A1D1, A1M : MD1 = = 1 : 4. Вычислить sin(MN, (ABC)).

Решение

1. Введем систему координат.

2. Пусть AB = a.  Тогда  B (0; 0; 0),  A (a; 0; 0),  A1 (a; 0; a),  C (0; a; 0),
N  , M .

3. .

4. {0; 0; a}.

5. .

6. .

Домашнее задание:  теория  (п. 51),  №№ 000,  453,  464  (б, в, г),  469 (б, в).

Урок 12
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Цель: сформировать навык решения задач на нахождение угла векторами, прямыми, прямой и плоскостью.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания (у доски): № 000 (б, д), № 000 (в; г).

II. Решение задач (по готовым чертежам).

Алгоритм решения задач:

1. Ввести прямоугольную систему координат.

2. Записать координаты всех точек.

3. Использовать алгоритм нахождения угла между прямыми, между прямой и плоскостью.

Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб. Вычислить cos . 1. B (0; 0; 0), A (a; 0; 0), C (...; ...; ...), A1 (...; ...; ...), C1 (...; ...; ...).

2. = a; {0; 0; a}.

= ... = a; {–a; a; a}.