Урок 1 Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии (стр. 37 )

1. Сечение, параллельное оси цилиндра, отстает от его оси на расстояние, равное 3. Найдите площадь сечения, если радиус основания цилиндра равен 5, а его высота – 10.

2. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 6, 8, и 10. Высота призмы равна 4. Площадь боковой поверхности  описанного около призмы цилиндра равна…

3. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна б. Эта хорда стягивает дугу 90°. Угол между образующими в сечении равен 60°. Площадь боковой поверхности конуса равна…

4. Основанием пирамиды служит треугольник со стороной, равной 10 и противолежащим ей углом 30°. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 60°. Площадь боковой поверхности описанного около пирамиды конуса равна…

5. Найдите множество точек, удаленных на б от точки M и на b от точки P.

6. Укажите множество центров всех сфер, которые касаются плоскости в заданной точке.

7. Через точку A (3; 4; 12), принадлежащую сфере x2 + y2 + z2 = 169 проведена плоскость, перпендикулярная оси Oz. Найдите радиус сечения.

8. Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 и 4. В этот конус вписан шар. Площадь боковой поверхности конуса равна…

9. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°. Площадь описанной около пирамиды сферы равна…

10. В пирамиду с равно наклоненными к основанию гранями вписан шар. Центр шара делит высоту в отношении 2 : 1, считая от вершины. Угол наклона боковых граней к основанию равен…

Вариант II

1. В цилиндре проведено сечение, параллельное его оси. Диагональ сечения равна 16 и составляет угол 60° с плоскостью основания. Радиус основания цилиндра равен 5. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

2. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной, равен 4 и углом в 60°. Высота параллелепипеда равна 5. Площадь боковой поверхности вписанного в параллелепипед цилиндра равна…

3. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна m. Эта хорда стягивает дугу 60°. Угол между образующим в сечении прямой. Площадь боковой поверхности конуса равна…

4. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Сторона основания пирамиды равна 6, а ее высота – 1. Площадь боковой поверхности конуса равна…

5. Найдите множество точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом.

6. Укажите множество центров всех шаров данного радиуса, которые касаются данной плоскости.

7. Через точку B (3; 4; 12) принадлежащей сфере x2 + y2 + z2 = 169 проведена плоскость, перпендикулярная оси Ox. Найдите радиус сечения.

8. Образующая усеченного конуса равна 6. В этот конус вписан шар. Площадь боковой поверхности конуса равна…

9. В правильный четырехугольной пирамиде боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°. Площадь описанной около пирамиды сферы равна 64р. Сторона основания пирамиды равна…

10. Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 45°. В эту пирамиду вписан шар. В каком отношении, считая от вершины, центр этого шара делит высоту пирамиды?

Уроки 13–15
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ВПИСАННЫЕ
И ОПИСАННЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Цели: ввести понятия вписанного шара в многогранник, описанного шара около многогранника; выяснить условия их существования; сформулировать навык решения задач по теме.

Ход уроков

I. Объяснение нового материала.

Определение вписанного (описанного) шара можно вводить по аналогии с вписанным  (описанным) многоугольником.

Какой многоугольник называется вписанным в окружность?

Каким свойством обладает центр вписанной в многоугольник окружность?

Аналогично поставить вопросы для описанного многогранника.

Аналогия  поможет  открыть  следующие  факты:  что  около  любого тетраэдра можно описать сферу; в любой тетраэдр можно вписать сферу (№ 000).

При доказательстве этих утверждений решается вопрос о нахождении центра вписанного (описанного) шара.

Центр вписанного шара – точка пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов треугольной пирамиды, центр описанного шара – точка пересечения всех плоскостей, проходящих через середины ребер перпендикулярно к ним. Рассмотрим последовательность изложения теории по данной теме.

А. Вписанный шар в пирамиду.

1. В треугольную пирамиду можно вписать шар.

2. В пирамиду, у которой в основание можно вписать окружность, центр которой служит основанием высоты пирамиды, можно вписать шар.

Следствие. В любую правильную пирамиду можно вписать шар.

3. Центр шара, вписанного в пирамиду, есть точка пересечения высоты пирамиды с биссектрисой угла, образованного апофемой и ее проекцией на основание.

Следствие. № 000.

В. Описанный около пирамиды шар.

1. Около треугольной пирамиды можно описать шар.

2. Если около основания пирамиды можно описать окружность, то около  пирамиды можно описать шар.

Следствие. Около любой правильной пирамиды можно описать шар.

3. Центр шара, описанного около пирамиды, лежит в точке пересечения прямой, перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр  описанной  около  основания  окружности,  и  плоскости,  перпендикулярной  любому  боковому  ребру,  проведенной через середину этого ребра.

Следствие. Центр описанной около правильной пирамиды сферы лежит на высоте этой пирамиды.

С. Вписанный в призму шар.

1. Шар можно вписать в прямую призму, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.

2. Центр вписанного шара лежит на середине высоты прямой призмы, проходящей через центр окружности, вписанной в основание, а радиус шара равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы.

D. Описанный около призмы шар.

1. Около призмы можно описать шар тогда и только тогда, когда призма прямая и около основания можно описать окружность.

2. Центр шара, описанного около прямой призмы, лежит на середине высоты призмы, проведенной через центр окружности, описанной около основания.

II. Решение задач.

См.: стереометрия: Задачник к школьному курсу. М.: АСТ – ПРЕСС: Магистр – S, 1998.

А. Вписанный шар в пирамиду.

	1. Дано: DABC – правильная треугольная пирамида, O – центр вписанного шара, M – точка касания вписанного шара, DO : OO1 = 2 : 1. Найдите 1.
	2. Дано: DABC – правильная треугольная пирамида, O – центр вписанного шара, M – точка касания вписанного шара, DM = KO1. Найдите KDO1.
	3. Дано: DABC – правильная треугольная пирамида, O – центр вписанного шара, M – точка касания вписанного шара, MK = 2. Найдите PABC.
	4. Дано: DABC – правильная треугольная пирамида, O – центр вписанного шара, M – точка касания вписанного шара, CO1 – 2DO = 2OM. Найдите 1.
	5. Дано: SABC – правильная треугольная пирамида, M – точка касания вписанного шара, O1 – центр вписанного шара, SABC = 300, cos б =. Найдите Rш.
	6. Дано: SABCD – правильная четырехугольная пирамида, O1 – центр вписанного шара, M – точка касания вписанного шара, OO1 = 1, PABCD = 8. Найдите б.
	7. Дано: SABCD – правильная четырехугольная пирамида, O1 – центр вписанного шара, M – точка касания вписанного шара, б = 30°. Докажите, что точка O1 делит высоту пирамиды в отношении 2 : 1, считая от вершины.
	8. Дано:  SABCD – правильная четырехугольная пирамида, O1 – центр вписанного шара, M – точка касания вписанного шара, DK = KC, SK = 5, AD = DC = 6. Найдите rш.
	9. Дано: MABC – правильная треугольная пирамида, MO (ABC), MKC = 60°, BC = 4, O1 – центр вписанного шара. Найдите rшара.
	10. Дано: MABC – правильная  четырехугольная пирамида, MO (ABC), OK CD, AD = 6, MKC = 60°, O – центр вписанного шара. Найдите rш.
	11. Дано: MABCDEK – правильная шестиугольная пирамида, MO (ABC), MKC = = 60°, BC = 4, O1 – центр вписанного шара, Sосн = , MPO = 60°. Найдите rш.

В. Описанный около пирамиды шар.