Урок 1 Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии (стр. 9 )

Домашняя контрольная работа

Вариант I

1. Параллелограммы ABCD и ADFE лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AD. Прямая m, параллельная BC, пересекает плоскости АВЕ и DCF соответственно в точках Н и Р. Докажите, что HPFE – параллелограмм.

2. На рисунке 1 плоскости б и в параллельны, а || а1. Прямая а пересекает плоскости б и в соответственно в точках А и В, а прямая а1 пересекает плоскость б в точке А1. Постройте точку пересечения а1 с плоскостью в. Поясните.

 

Рис. 1  Рис. 2

3. В  тетраэдре  DABC  DBA =DBC = 90°,  DB = 6,  АВ = ВС = 8, АС = 12. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину DB и параллельной плоскости ADC. Найдите площадь сечения.

4*. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Е и F и параллельной прямой а (рис. 2).

Вариант II

1. Вне плоскости б расположен треугольник АВС, у которого медианы АА1 и ВВ1 параллельны плоскости б. Через вершины В и С треугольника проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость б соответственно в точках Е и F. Докажите, что ECBF – параллелограмм.

2. На рисунке 1 плоскости б и в параллельны. Прямая а пересекает плоскости б и в соответственно в точках А и В, а прямая b – в точках С и D. Найдите взаимное положение прямых а и b. Поясните.

 

Рис. 1  Рис. 2 

3. Все  грани  параллелепипеда  ABCDA1B1C1D1  –  квадраты со стороной а. Через середину AD параллельно плоскости DA1B1 проведена плоскость. Найдите периметр сечения.

4*. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки С и К и параллельной прямой а (рис. 2).

Вариант III

1. Прямоугольники ABCD и EBCF лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону ВС. Прямая а параллельна AD и пересекает плоскости АВЕ и DCF соответственно в точках Р и Н. Докажите, что РВСН – параллелограмм.

2. На рисунке 1 плоскости б и в параллельны. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая а пересекает плоскости б и в соответственно в точках А и В, а прямая b пересекает плоскость в в точке D. Постройте точку пересечения прямой b с плоскостью б.

 

Рис. 1  Рис. 2 

3. В  тетраэдре  DABC  точка  М – середина  АС,  DB = 6,  MD = 10,
∠ DBM = 90°. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ребра DC и параллельной плоскости DMB, и найдите площадь сечения.

4*. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Е и Р и параллельной прямой а (рис. 2).

Вариант IV

1. Трапеция ABCD (AD и ВС – основания) расположена вне плоскости б. Диагонали трапеции параллельны плоскости б. Через вершины А и В проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость б в точках Е и F соответственно. Докажите, что EABF – параллелограмм.

2. На рисунке 1 плоскости б и в параллельны. Прямая а пересекает плоскости б и в соответственно в точках А и В, а прямая b – в точках С и D. Каково взаимное положение прямых а и b? Поясните.

 

Рис. 1  Рис. 2 

3. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, все грани которого – прямоугольники, AD = 4, DC = 8, СС1 = 6. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра DC и параллельной плоскости AB1C1, и найдите периметр сечения.

4*. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки С и М и параллельной прямой а (рис. 2).

Урок 16
ТЕТРАЭДР

Цель: ввести понятие тетраэдра, проиллюстрировать изученные понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей на примере треугольной пирамиды.

Ход урока

I. Объяснение  нового  материала  построить  в  соответствии  с пунктом 12.

II. Решение задач: №№ 66, 67, 68 (на готовом чертеже), 69, 70, 74.

№ 69.

Дано: SABC – тетраэдр. МА = МВ, BN = NC, М б, N б, BS || б, б (ABS) = PM, б (BCS) = = KN. Доказать, что РМ || KN.

Доказательство

1.

2.

3.

№ 70.

Дано: ABCD – тетраэдр, АМ = МВ, AN = ND, AK = KC. Доказать, что (MNK) || (BCD).

Доказательство

1. MK || ВС (по свойству средней линии).

2. MN || BD (по свойству средней линии).

3. .

№ 74.

Дано: ABCD – тетраэдр, О – точка пересечения медиан Д BCD, О б, б || (АВС), б AD = М, б ВD = K, б DС = N. Доказать, что Д MNK Д АВС. Найдите .

Решение

1.

2. Аналогично MK || AB, MN || AC.

3. Д BCD Д KND (по двум углам) KN = BC, DK = BD,
DN = DC.

4.

5. Д MDK Д ADB (по двум углам) MK = AB.

6. Аналогично, MN = AC.

7. Д MNK Д ABC (по трем сторонам).

8. .

Домашнее задание: теория (п. 12), №№ 71, 102, 103.

Урок 17
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Цель: ввести понятие параллелепипеда, рассмотреть свойства ребер, граней, диагоналей параллелепипеда.

Ход урока

I. Объяснение нового материала построить в соответствии с пунктом 13 учебника.

II. Решение задач:  №№ 76 (устно), 77, 78 (устно по готовому чертежу), 79, 80.

III. Домашнее задание: теория (п. 13), №№ 81, 109, 110. Подготовить ответы на вопросы к главе I.

Урок 18
ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ

Цель: сформировать навык решения простейших задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.

Ход урока

I. Устная работа – вопросы к главе I.

II. Решение задач: №№ 72, 73, 75, 82.

III. Домашнее задание: теория (п. 14), №№ 83, 84, 85, 86.

Дополнительно:

1. ABCD – тетраэдр, М – середина АС, DB = 6, MD = 10, DBM = 90°.

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину DC параллельно плоскости (DMB), и найдите Sсеч. 1) MB = 8 см. 2) Д DBM Д KNF, K = .

SDBM = 24 см2 SKNF = 6 см2.

2. Все грани параллелепипеда – прямоугольники.