Урок 1 Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии (стр. 34 )

Найдите Sб : S АА1В1В.

3. Дано: АА1В1В – осевое сечение, АВ1В = ц, Sосн = S. Найдите Sбок.

III. Решение задач: №№ 000, 539, 543.

Домашнее задание: №№ 000, 540, 541, 544.

Урок 4
КОНУС

Цели:  проверить  уровень  сформулированности  навыка  решения задач по нахождению элементов цилиндра; ввести понятия конуса, элементов конуса.

Ход урока

I. Самостоятельная работа (15 мин).

Вариант I

1. Сечением цилиндра плоскостью, параллельной оси, служит квадрат, площадь которого равна 20. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если его диагональ равна 10 дм.

2. Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат с диагональю, равной см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Вариант II

1. Высота цилиндра 16 см, радиус основания 10 см. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра до этого сечения.

2. Разверткой боковой поверхности цилиндра служит прямоугольник, диагональ которого, равная 12р, составляет с одной из сторон угол 30°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если его высота равна меньшей стороне развертки.

II. Объяснение нового материала построить по плану:

1. Понятия конуса, его элементов (вершина, ось, образующие, основание, боковая поверхность конуса). Изображение конуса.

На рисунке проведем касательные из точки S к эллипсу, изображающему основание конуса. Обозначим через K1 и K2 точки касания. Распространенная ошибка заключается в том, что учащиеся принимают треугольник SK1K2 за изображение осевого сечения конуса.

Однако хорда K1K2 не проходит через центр О основания конуса. Для построения изображения осевого сечения, проходящего через образующую SK1 достаточно построить изображение диаметра K1М и соединить полученную точку М с вершиной S конуса. SK1 и SK2 – изображения крайних образующих, то есть они отделяют видимые образующие (их изображения получаются, если соединить произвольную точку дуги K1МK2 эллипса с вершиной S от невидимых.

2. Рассмотреть сечение конуса различными плоскостями, выделяя два случая:

1) Секущая плоскость через вершину конуса;

2) Секущая плоскость параллельна основанию конуса.

В первом случае следует рассмотреть пересечение секущей плоскости с окружностью основания конуса.

1 (а). Если они пресекаются в двух точках, то в сечении конуса получаем равнобедренный треугольник, основание которого – отрезок с концами в этих точках. Из всех таких следует особо выделить осевое сечение. Оно получается, если рассматриваемые точки пересечения – концы диаметра основания конуса. Среди конусов выделяется равносторонний (осевое сечение его – равносторонний треугольник). Если R – радиус его основания, то образующая равностороннего конуса равна 2R.

1 (б). Если они имеют только одну общую точку, то рассматриваемая плоскость – касательная к конусу.

Касательная плоскость к конусу может быть определена по-разному.

Определение 1. Плоскость, проходящая через образующую конуса перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую.

Определение 2. Плоскость, имеющая с конусом только одну общую образующую.

Трактовка плоскости, касательной к конусу и плоскости, касательной к цилиндру, должна быть одна и та же в одном учебнике. Следует отметить, что, приняв одно из предложений 1 или 2 в качестве определения, необходимо ознакомить учащихся с другим как свойством касательной плоскости к конусу.

1 (в). Продолжая рассмотрение плоскости, проходящей через вершину конуса, проходим к случаю: если плоскость и окружность основания не имеют общих точек, то рассматриваемая плоскость с конусом имеют только одну общую точку – вершину конуса.

2. При  доказательстве  теоремы  о  сечении  конуса  плоскостью,  параллельной его основанию (№ 000) целесообразно получить следующие выводы:

1. Рассматриваемое сечение – круг.

2. Обозначив через R и r – соответственно радиус конуса и рассматриваемого сечения и через H и h высоту данного и отсеченного конуса, получаем, что = k, где k – коэффициент подобия данного и отсеченного  конусов.  Доказать,  что = k2. Обобщить, решая задачу № 000.

Рассмотрение сечения, перпендикулярного оси конуса, позволяет эффективно применять метод гомотетии по аналогии с сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Установив форму и расположение сечения, вводят понятие усеченного конуса.

Изображая усеченный конус, удобно сначала нарисовать тот конус, из которого получается усеченный конус.

III. Решение задач: №№ 000 (а), 549.

Домашнее задание: теория (п. 61), №№ 000, 548 (б, в), 550.

Урок 5
КОНУС

Цель: сформировать навык решения задач на нахождение элементов конуса.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания (у доски).

II. Устная работа.

1. Приведите примеры предметов, имеющих форму конуса или усеченного конуса.

2. Какой фигурой является ортогональная проекция конуса:

а) на плоскость его основания; б) на плоскость осевого сечения; в) на касательную плоскость.

3. На каком расстоянии от вершины конуса надо провести плоскость, параллельную основания, чтобы в сечении цилиндра получился круг, площадь которого в 2 раза меньше площади основания?

4. Существует ли сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, площадь которого равна осевому сечению?

5. Какой должна быть высота конуса, осевое сечение которого имеет ту же площадь, что и его основание?

6. Модель конуса разбита. Какие измерения надо провести, чтобы определить его высоту, образующую?

III. Решение задач (по готовым чертежам).

	1. l = 13, R = 5. Найти H.
	2. ABC = 90°, l = 3. Найти R, H.
	3. ABC = 120°, l = 6. Найти R, H.
	4. Д ABC – равносторонний, l = 12, R = 10. Найти OK, H.
	5. H = 12, OKB = 30°, AC = 60°. Найти R, l.

IV. Решение задач: №№ 000 (а), 552, 554 (а), 555 (а).

Домашнее задание: №№ 000 (б, в), 553, 554 (б), 555 (б, в).

Урок 6
КОНУС

Цель: ввести понятие площади боковой поверхности конуса как площади ее развертки.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания (у доски).

II. Решение задач (по готовым чертежам).

1.	А. Дано: R = 5; H = 12. Найти l. Б. Дано: l = 10; б = 30°. Найти R. В. Дано: R = 3; Д ABC – прямоугольный. Найти SД ABC.

Г. Дано: Sосн = 16р, SД ABC = 32.

Найти H.

Д. Дано: H = 6; Д ABC – равносторонний.

Найти R.

2.	А. Дано: H = 15, R = 20, AOC = 60°. Найти SД ABC. Б. Дано: l =, в = 60°, OM (ABC). Найти R.

III. Объяснение нового материала.

1. Ввести понятие площади боковой поверхности, используя развертку конуса.

2. Площадь полной поверхности конуса.

3. Вывести формулу для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса.

IV. Решение задач: №№ 000, 559, 560 (а), 562, 567.

Домашнее задание: №№ 000 (б, в), 561, 563, 568.

Урок 7
КОНУС

Цель: сформулировать навык решения задач на нахождение элементов и S боковой поверхности конуса и усеченного конуса.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания (вывести формулы S бок. конуса, S бок. усеченного конуса.

II. Решение задач.

Заполните таблицу (организуйте работу в парах).

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
l	5	2,5	2	2,5
r	1,5	2	10	3
h	2	3	6
S	25	1	4,5
б	30°		45°
C	45	24	120
в	200°	180°

l – образующая конуса, r – радиус его основания, h – высота, S – площадь осевого сечения, б – угол образующей с осью, C – длина окружности основания, в – центральный угол развертки боковой поверхности.